MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 24

Niech $x=0,(9)$. Wtedy

$10x=9,(9)=9+x$,

więc $9x=9$ i $x=1$. Zatem

$a,(9)=a+0,(9)=a+1$.

a) Do $3100$ zaokrąglają się liczby od $3050$ do $3149$. Liczba $3049$ zaokrągla się do $3000$, a $3150$ już do $3200$.

b) Do $54\,000$ zaokrąglają się liczby od $53\,500$ do $54\,499$.

Jeżeli $x$ jest szukaną liczbą, $32,2$ jej przybliżeniem, a $e$ błędem, to

$e=x-32,2$, czyli $x=32,2+e$.

Podstawiając kolejno podane błędy, otrzymujemy $32,23$, $32,17$, $32,185$ i $32,2096$.

Mamy $\frac37=0,(428571)$. Suma cyfr jednego sześciocyfrowego okresu wynosi

$4+2+8+5+7+1=27$.

Ponieważ $1000=166\cdot6+4$, występuje $166$ pełnych okresów i cyfry $4,2,8,5$ z następnego. Zatem

$166\cdot27+(4+2+8+5)=4482+19=4501$.

Liczby jednocyfrowe zajmują $9$ miejsc, a dwucyfrowe $90\cdot2=180$ miejsc. Do liczb trzycyfrowych pozostaje

$2019-9-180=1830$

cyfr. Jest to dokładnie $610$ pełnych liczb trzycyfrowych, więc szukana cyfra jest ostatnią cyfrą liczby

$99+610=709$.

Pierwsze rozwinięcie ma po dwóch cyfrach okres $5821$ długości $4$, a drugie po trzech cyfrach okres $36748$ długości $5$. Sprawdzamy pierwszych $\operatorname{NWW}(4,5)=20$ pozycji. Pierwsza zgodność występuje na miejscu $8$ (w obu rozwinięciach jest tam cyfra $8$), a wzór powtarza się co $20$ miejsc.

Ułamek jest właściwy dla $3n<110$, czyli $1\le n\le36$. Po skróceniu mianownik musi mieć wyłącznie czynniki pierwsze $2$ i $5$. Ponieważ

$110=2\cdot5\cdot11$

i $3$ nie usuwa czynnika $11$, musi zachodzić $11\mid n$. W podanym zakresie są to $n=11,22,33$.

Mamy $0,(a)=\frac a9$ i $0,(b)=\frac b9$. Równanie przyjmuje postać

$\sqrt{\frac a9}=\frac b9$, czyli $9a=b^2$.

Zatem $b$ musi być cyfrą podzielną przez $3$: $b=3,6$ albo $9$. Odpowiadają im kolejno $a=1,4,9$.

Wybieramy mianowniki zawierające po skróceniu czynnik pierwszy inny niż $2$ lub $5$. Na przykład

$\frac15<\frac29<\frac3{13}<\frac4{17}<\frac14$.

Mianowniki $9,13,17$ nie mają postaci $2^a5^b$, więc rozwinięcia wszystkich trzech ułamków są nieskończone.

Zaokrąglenie do części dziesiątych oznacza przedział od wartości kończącej się na $\ldots,15$ włącznie do wartości $\ldots,25$ bez prawego końca.

a) $2,15\le\sqrt n<2,25$, więc $4,6225\le n<5,0625$ i $n=5$.

b) $7,65\le\sqrt n<7,75$, więc $58,5225\le n<60,0625$ i $n=59$ lub $60$.

c) $2,15\le\sqrt[3]n<2,25$, więc $9,938375\le n<11,390625$ i $n=10$ lub $11$.

d) $3,25\le\sqrt[3]n<3,35$, więc $34,328125\le n<37,595375$ i $n=35,36$ lub $37$.