MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 248

Dla niepionowych prostych prostopadłych iloczyn współczynników kierunkowych wynosi $-1$. Wyraz wolny może być dowolny. Prosta pionowa jest natomiast prostopadła do każdej prostej poziomej.

Po odczytaniu współczynników danych prostych wybieramy kolejno współczynniki $-\frac13$, $5$, $-\frac1{\sqrt2}$, $-1$, $-\sqrt3$ oraz — w ostatnim podpunkcie — prostą poziomą.

Współczynnik szukanej funkcji jest przeciwną odwrotnością współczynnika funkcji $g$. Wyraz wolny wyznaczamy z punktu $P$.

a) $a=-\frac13$ i $2=(-\frac13)(-3)+b$, więc $b=1$.

b) $a=\frac15$ i $0=\frac15(-\frac15)+b$, więc $b=\frac1{25}$.

c) $a=-\frac52$ i $-5=-\frac52\cdot2+b$, więc $b=0$.

d) $a=\frac72$, a punkt ma $x=0$, zatem $b=-2$.

Wyznaczamy współczynnik prostej $k$, bierzemy przeciwną odwrotność i podstawiamy punkt $P$.

a) $a_k=-\frac23$, więc $a_l=\frac32$ i $y+4=\frac32(x+2)$.

b) Prosta $k$ jest pozioma, zatem $l$ jest pionowa i przechodzi przez $x=1$.

c) $a_k=\frac32$, więc $a_l=-\frac23$ i $y+3=-\frac23(x-6)$.

d) $a_k=-1$, więc $a_l=1$ i $y+3=x+4$.

Współczynniki kierunkowe trzech prostych wynoszą odpowiednio $2$, $1$ i $-1$. Dwie ostatnie proste spełniają $1\cdot(-1)=-1,$ więc przecinają się pod kątem prostym. Są to proste zawierające dwa boki ograniczonego przez nie trójkąta, zatem trójkąt jest prostokątny.

Obliczamy współczynniki kierunkowe boków:

Przeciwległe boki są równoległe, więc czworokąt jest równoległobokiem. Ponadto $a_{AB}a_{BC}=-1,$ zatem sąsiednie boki są prostopadłe. Równoległobok z kątem prostym jest prostokątem.

Współczynniki kierunkowe wynoszą

Ponieważ $a_{AB}=a_{CD}$, dokładnie jedna para boków przeciwległych jest równoległa. Ponadto $a_{AB}a_{BC}=-1$, więc ramię $BC$ jest prostopadłe do obu podstaw. Czworokąt jest zatem trapezem prostokątnym.

Kąt jest prosty, gdy iloczyn skalarny wektorów jego ramion jest równy zero.

a) Iloczyny skalarne wektorów wychodzących z kolejnych wierzchołków $A,B,C,D,E$ wynoszą $0,\quad 0,\quad -7,\quad -2,\quad -4.$ Przykładowo przy $A$ mamy $(4,2)\cdot(2,-4)=0$, a przy $B$: $(-2,4)\cdot(2,1)=0$. Kąty proste są więc przy $A$ i $B$.

b) Analogiczne iloczyny dla $A,B,C,D,E$ to $0,\quad -8,\quad 12,\quad -8,\quad 0.$ Znikają dokładnie przy $A$ i $E$, zatem tylko te dwa kąty są proste.

Współczynnik prostej $AB$ wynosi $a_{AB}=\frac{6-2}{1-(-2)}=\frac43.$ Wysokość jest prostopadła do $AB$, więc ma współczynnik $-\frac34$ i przechodzi przez $C(4,1)$: $y-1=-\frac34(x-4).$

Prosta $l$ przecina osie w punktach $(3,0)$ i $(0,5)$, więc środek łączącego je odcinka to $S\left(\frac32,\frac52\right)$.

Współczynnik prostej $l$ wynosi $-\frac53$, zatem prosta prostopadła ma współczynnik $\frac35$. Przez punkt $S$ przechodzi więc prosta $y-\frac52=\frac35\left(x-\frac32\right).$