MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 247

Odcinek $AB$ ma długość $2k$, a trzeci wierzchołek leży na osi $OY$. Są dwa przypadki: $C=(0,k\sqrt3)\qquad\text{lub}\qquad C=(0,-k\sqrt3).$

Prosta $AB$ ma równanie $y=0$. Dla wierzchołka nad osią $OX$ współczynniki ramion wynoszą odpowiednio $\sqrt3$ i $-\sqrt3$, a wyrazy wolne $k\sqrt3$. Dla wierzchołka pod osią wyrazy wolne mają znak przeciwny.

Niech miejsca zerowe funkcji mają argumenty $r$ i $-r$. Obie proste przechodzą przez $(5,3)$. Podstawa trójkąta na osi $OX$ ma długość $2|r|$, a wysokość wynosi $3$, zatem

$$21=\frac12\cdot2|r|\cdot3,$$

skąd $|r|=7$.

Funkcja malejąca ma miejsce zerowe $7$, więc jej współczynnik to $\frac{0-3}{7-5}=-\frac32$. Funkcja rosnąca ma miejsce zerowe $-7$, więc jej współczynnik wynosi $\frac{3-0}{5-(-7)}=\frac14$.

Odległość punktu $(x,y)$ od osi $OY$ jest równa $|x|$, a od osi $OX$ — $|y|$.

a) Warunek $|x|=|y|$ daje $y=x$ lub $y=-x$.

b) $|x|=3$, więc $x=3$ lub $x=-3$.

c) $|y|=5$, więc $y=5$ lub $y=-5$.

Z pierwszego równania $a=y-4x$. Podstawiamy tę wartość do drugiego:

$$y=5x+2(y-4x)+1.$$

Po uproszczeniu $y=5x+2y-8x+1,$ czyli $y=3x-1$. Każda wartość $a$ wyznacza jeden punkt przecięcia, a wszystkie takie punkty leżą na tej prostej.

Aby prosta przechodziła tylko przez I i III ćwiartkę, musi przechodzić przez początek układu i mieć dodatni współczynnik kierunkowy.

Warunek $4-k^2=0$ daje $k=2$ lub $k=-2$. Dla $k=-2$ współczynnik $-2-|m-2|$ nie może być dodatni. Dla $k=2$ potrzebujemy $2-|m-2|>0,$ czyli $|m-2|<2$, a stąd $0<m<4$.

Ze skanu odczytujemy, że zacieniowany obszar leży między prostymi przez początek układu o współczynnikach $\frac13$ i $3$, wraz z brzegami. Zatem

$$\frac13\le3-|m+2|\le3.$$

Prawa nierówność jest spełniona zawsze, a lewa daje $|m+2|\le\frac83.$ Stąd $-\frac{14}{3}\le m\le\frac23$.