MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 246

Przy przejściu od $P(k,l)$ do $Q(k+1,l+3)$ argument rośnie o $1$, a wartość o $3$, więc współczynnik kierunkowy prostej wynosi $3$.

Z równania $ax+3y-6=0$ mamy $y=-\frac a3x+2$. Stąd $-\frac a3=3$, czyli $a=-9$, a prosta ma równanie $y=3x+2$.

Dla $x=25$ otrzymujemy $3\cdot25+2=77$, więc punkt $R(25,77)$ należy do prostej.

Ponieważ proste przechodzą przez $(0,0)$, ich współczynniki wynoszą kolejno $a_1=1,\qquad a_2=\frac12,\qquad a_3=\frac13,\qquad a_4=\frac16.$ Zachodzi

Współczynnik prostej $k_1$ jest więc sumą współczynników trzech pozostałych prostych.

Niech $T=(0,t)$. Współczynniki kierunkowe są równe

Ich suma nie zależy od $t$:

Ponieważ prosta nie jest równoległa do osi $OY$, mamy $x_1\ne x_2$. Jej współczynnik kierunkowy wynosi $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$ Równanie prostej przez punkt $P$ ma postać $y-y_1=a(x-x_1).$ Dla $x\ne x_1$ dzielimy przez $x-x_1$ i po podstawieniu wartości $a$ otrzymujemy $\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$

Mnożymy dany warunek na krzyż:

Po podzieleniu przez niezerowy iloczyn $(x_3-x_1)(x_2-x_1)$ otrzymujemy

Proste $AC$ i $AB$ mają ten sam współczynnik kierunkowy i wspólny punkt $A$, więc są tą samą prostą. Punkty $A,B,C$ są współliniowe.

Punkt $A(m,0)$ należy do prostej, więc $0=am+1.$ Stąd $a=-\frac1m$. Ponieważ $m>0$, liczba $\frac1m$ jest dodatnia, a zatem $a=-\frac1m<0$.

Oznaczmy współczynniki kierunkowe dwóch nierównoległych boków przez $a$ i $b$. Boki przeciwległe są równoległe, więc cztery współczynniki to $a,a,b,b$.

Żaden bok nie jest równoległy do osi, zatem $a\ne0$ i $b\ne0$. Iloczyn wszystkich współczynników wynosi $a\cdot a\cdot b\cdot b=a^2b^2>0.$

Prosta $y=ax$ jest promieniem kierunkowym wychodzącym z początku układu. Dla punktu $(x,y)$ o $x>0$ jej współczynnik wynosi $y/x$.

W wierzchołkach trójkąta otrzymujemy

Promień przecina wypukły trójkąt dokładnie dla kierunków od najmniejszego do największego, wraz z kierunkami brzegowymi.

Wszystkie rozważane proste przechodzą przez punkt $(0,1)$. Kierunek prostej przez ten punkt i $(x,y)$ opisuje liczba $\frac{y-1}{x}$.

Dla kolejnych wierzchołków kwadratu otrzymujemy

Skrajne proste stykające się z kwadratem przechodzą przez $A$ i $D$, zatem wszystkie dopuszczalne współczynniki tworzą przedział domknięty.

Dla dowolnego $m$ różnice współrzędnych punktów są stałe:

Każda z tych prostych ma więc współczynnik $a=-7/7=-1$, a zatem wszystkie są równoległe.

Aby proste były równoległe, ich współczynniki przy $x$ i $y$ muszą być proporcjonalne. Ponieważ współczynnik przy $x$ w drugim równaniu jest cztery razy większy, musi zachodzić $m=4\cdot2=8.$ Drugie równanie po podzieleniu przez $4$ ma wtedy postać $x-2y-2=0$. Pierwsza prosta ma postać $x-2y-2k=0$. Są różne dokładnie wtedy, gdy $2k\ne2$, czyli $k\ne1$.