MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 245

Porównujemy współczynniki kierunkowe obu prostych.

a) $a_{AB}=\frac{100}{-150}=-\frac23$ oraz $a_{CD}=\frac{100}{-150}=-\frac23$.

b) $a_{AB}=\frac{-33}{-99}=\frac13$, natomiast $a_{CD}=\frac{-45}{-99}=\frac5{11}$.

c) $a_{AB}=\frac{-110}{220}=-\frac12$ oraz $a_{CD}=\frac{-110}{220}=-\frac12$.

Różnice współrzędnych mogą mieć niezależnie oba znaki: $|\Delta x|=8,\qquad |\Delta y|=4.$ Zatem $a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac48=\frac12$ albo, gdy różnice mają przeciwne znaki, $a=-\frac12$.

Współczynnik prostej $BC$ wynosi $a=\frac{-1-(-3)}{2-4}=-1.$ Szukana prosta ma ten sam współczynnik i przechodzi przez $A(-1,2)$: $y-2=-(x+1),$ czyli $y=-x+1$.

Ponieważ $P$ i $Q$ leżą na jednej prostej, iloraz różnic ich współrzędnych musi być równy podanemu $a$.

a) $\frac{9-2m}{4-2}=3$, więc $m=\frac32$.

b) $\frac{0-2m}{-1-2}=\frac23$, więc $m=1$.

c) $\frac{-1-2m}{5-2}=-2$, więc $m=\frac52$.

d) $\frac{-2\sqrt2-2m}{-2-2}=\frac{\sqrt2}{2}$, więc $m=0$.

Współczynnik prostej $AB$ jest równy $a=\frac{2m-5}{-4-1}=\frac{5-2m}{5}.$

a) $\frac{5-2m}{5}=4$, więc $m=-\frac{15}{2}$.

b) $\frac{5-2m}{5}=0$, więc $m=\frac52$.

c) $\frac{5-2m}{5}=-2$, więc $m=\frac{15}{2}$.

Najpierw wyznaczamy środki boków: $K=(1,-1),\qquad L=(2,2),\qquad M=(-2,1).$ Następnie zapisujemy równania prostych przez odpowiednie pary punktów:

Po podstawieniu jednego punktu do równania $y=ax+b$ otrzymujemy wyrazy wolne.

Dana prosta ma postać $y=-2x+54$, więc jej współczynnik kierunkowy wynosi $-2$.

Dla boków kwadratu otrzymujemy $a_{AB}=\frac12,\quad a_{BC}=-2,\quad a_{CD}=\frac12,\quad a_{DA}=-2.$ Równoległe do danej prostej są więc boki o współczynniku $-2$.

Między punktami $A(t,s)$ i $R(t-8,s-2)$ argument oraz wartość zmniejszają się odpowiednio o $8$ i $2$. Zatem $a=\frac{-2}{-8}=\frac14.$ Prosta ma równanie $y=\frac14x-33$. Dla $x=-44$ otrzymujemy $y=\frac14\cdot(-44)-33=-11-33=-44,$ więc punkt $B(-44,-44)$ należy do tej prostej.