MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 243

Proste pokrywają się wtedy, gdy trójki współczynników są proporcjonalne.

a) Pomnożenie równania $k$ przez $-2$ daje $-6x+4y-2=0$, więc $m=-6$.

b) Z wyrazów przy $x$ wynika mnożnik $3$, lecz wtedy wyraz wolny powinien wynosić $9$, a nie $4$. Takiej wartości $m$ nie ma.

c) Z porównania wyrazów wolnych wynika mnożnik $m$. Warunek dla współczynników przy $y$ ma postać $-1=-m^2$, zatem $m=\pm1$.

d) Po pomnożeniu równania $k$ przez $-1$ wyraz wolny wynosi $1-m^2$. Równość $1-m^2=3$ nie ma rozwiązania rzeczywistego.

Prosta może mieć punkty wspólne ze wszystkimi czterema bokami kwadratu tylko wtedy, gdy przechodzi przez dwa przeciwległe wierzchołki. Wierzchołki kwadratu to $(-2,1)$, $(1,1)$, $(1,4)$ i $(-2,4)$.

Przekątne mają równania $y=-x+2\qquad\text{oraz}\qquad y=x+3.$ Punkt $B(2m,m)$ leży na pierwszej z nich, gdy $m=-2m+2,$ czyli $m=\frac23$. Dla drugiej przekątnej $m=2m+3,$ więc $m=-3$.

W równaniu odcinkowym $\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1$ liczby $p$ i $q$ są odpowiednio niezerowymi odciętymi punktów przecięcia z osiami $OX$ i $OY$. Podstawiamy więc bezpośrednio współrzędne danych punktów.

Sprowadzamy każde równanie do postaci $Ax+By=C$, dzielimy przez $C$ i zapisujemy współczynniki jako odwrotności odciętych.

a) $x-y=2$; b) $2x+y=1$; c) $x-2y=6$;

d) $2x-y=2$; e) $4x+7y=7$; f) $2x+3y=6$.

W równaniu $\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1$ punkty przecięcia z osiami to $(p,0)$ i $(0,q)$.

a) $p=6$, $q=4$.

b) $p=-2$, $q=2$.

c) $p=3$, $q=-5$.

Niech $B=(p,0)$ i $C=(0,q)$. Prosta ma równanie $\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1$ i przechodzi przez $A(2,-1)$, więc $\frac2p-\frac1q=1.$

a) Z $|q|=|p|$ mamy $q=p$ albo $q=-p$. Pierwszy przypadek daje $p=q=1$, a drugi $p=3$, $q=-3$.

b) Z $|q|=2|p|$ mamy $q=2p$ albo $q=-2p$. Otrzymujemy odpowiednio $(p,q)=\left(\frac32,3\right)$ oraz $\left(\frac52,-5\right)$.

Przekątne rombu przecinają się w połowie, więc jedna para wierzchołków ma współrzędne $(\pm3,0)$, a druga $(0,\pm2)$. Każdy bok łączy jeden punkt z osi $OX$ z jednym punktem z osi $OY$, co daje cztery równania odcinkowe.

Długości przekątnych można też przypisać osiom odwrotnie: wtedy wierzchołki to $(\pm2,0)$ i $(0,\pm3)$ i otrzymujemy drugi równoważny zestaw czterech prostych.

Równanie prostej przez $A(p,0)$ i $B(0,q)$ można zapisać za pomocą wyznacznika albo wyznaczając współczynnik kierunkowy. Otrzymujemy

Ponieważ $p\ne0$ i $q\ne0$, możemy podzielić równanie przez $pq$: