MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 242

Punkt przecięcia z osią $OX$ otrzymujemy, podstawiając $y=0$, a z osią $OY$ — podstawiając $x=0$. Następnie rozwiązujemy każde równanie względem $y$.

a) $x=\frac13$ dla $y=0$, $y=1$ dla $x=0$, a $y=-3x+1$.

b) $x=\frac43$ dla $y=0$, $y=-2$ dla $x=0$, a $y=\frac32x-2$.

c) $x=-12$ dla $y=0$, $y=3$ dla $x=0$, a $y=\frac14x+3$.

d) $x=\frac{\sqrt2}{2}$ dla $y=0$, $y=\frac12$ dla $x=0$, a $y=-\frac{\sqrt2}{2}x+\frac12$.

Sprawdzamy środki przekątnych. Środek $AC$ ma współrzędne

$$\left(\frac{-4+4}{2},\frac{-4+3}{2}\right)=\left(0,-\frac12\right).$$

Środek $BD$ ma współrzędne

$$\left(\frac{3-3}{2},\frac{-2+1}{2}\right)=\left(0,-\frac12\right).$$

Przekątne dzielą się więc wzajemnie na połowy, a zatem czworokąt $ABCD$ jest równoległobokiem.

Równania tej samej prostej mają proporcjonalne trójki współczynników przy $x$, $y$ i wyrazie wolnym.

a) Pierwsze równanie ma postać $3x+4y-4p=0$. Po porównaniu z $x+qy+6=0$ dostajemy $3q=4$ i $-4p=18$.

b) Po podstawieniu $y=px-3$ do drugiego równania otrzymujemy $(5p-2)x+q-15=0$. Tożsamość zachodzi dla $5p-2=0$ i $q-15=0$.

c) Mnożnik przejścia od pierwszego równania do drugiego wynosi $-\frac32$, więc $12=-\frac32p$ oraz $q=-\frac32\cdot(-4)$.

d) Z wyrazów przy $y$ wynika mnożnik $\frac32$, zatem $4=\frac32p$ i $q=\frac32\cdot6$.

Odejmujemy stronami równania prostych:

$$(m-k)y=0.$$

Ponieważ $m\ne k$, musi być $y=0$. Po podstawieniu do dowolnego z równań mamy $3x+8=0$, czyli $x=-\frac83$.

Punkt przecięcia ma więc współrzędne $\left(-\frac83,0\right)$, a jego druga współrzędna jest zerowa, zatem leży on na osi $OX$.

Niech prosta przez $A(-1,-2)$ ma równanie $ux+vy+u+2v=0$. Jej odległości od $B$ i $C$ są równe wtedy i tylko wtedy, gdy

$$|3u+6v|=|3u|,$$

czyli $|u+2v|=|u|$.

Stąd $u+2v=u$, więc $v=0$ i otrzymujemy $x=-1$, albo $u+2v=-u$, więc $u+v=0$ i otrzymujemy $x-y-1=0$.

Współczynniki $a$ i $b$ nie mogą być jednocześnie zerowe.

a) Oś $OX$ ma równanie $y=0$, więc $a=c=0$ i $b\ne0$.

b) Oś $OY$ ma równanie $x=0$, więc $b=c=0$ i $a\ne0$.

c) Prosta równoległa do $OX$ ma postać $by+c=0$, zatem $a=0$, $b\ne0$.

d) Prosta prostopadła do $OX$ jest pionowa, więc $b=0$, $a\ne0$.

e) Początek układu spełnia równanie dokładnie wtedy, gdy $c=0$; ponadto $a\ne0$ lub $b\ne0$.

a) Prosta jest równoległa do $OX$, gdy współczynnik przy $x$ jest zerowy, a współczynnik przy $y$ niezerowy. Zatem $m-2=0$, czyli $m=2$; wtedy $m^2-1=3\ne0$.

b) Prosta jest prostopadła do $OX$, gdy współczynnik przy $y$ jest zerowy, a przy $x$ niezerowy. Warunek $m^2-1=0$ daje $m=-1$ lub $m=1$, a dla obu wartości $m-2\ne0$.

Proste przecinają się w jednym punkcie, gdy wyznacznik ich współczynników przy $x$ i $y$ jest niezerowy.

a) $\begin{vmatrix}m&1\\3&1\end{vmatrix}=m-3\ne0$, więc $m\ne3$.

b) $\begin{vmatrix}1&-1\\2&m\end{vmatrix}=m+2\ne0$, więc $m\ne-2$.

c) $\begin{vmatrix}1&1\\2&-1\end{vmatrix}=-3\ne0$ dla każdego $m$.

d) $\begin{vmatrix}|m|&-1\\m&-1\end{vmatrix}=m-|m|$. Jest on niezerowy dokładnie dla $m<0$.