MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 241

Z równania prostej mamy $y=\sqrt3x+3$. Załóżmy, że $x$ i $y$ są wymierne.

Wtedy $\sqrt3x=y-3$ jest liczbą wymierną. Gdyby $x\ne0$, to

$$\sqrt3=\frac{y-3}{x}$$

byłaby liczbą wymierną, co jest sprzeczne z niewymiernością $\sqrt3$. Zatem $x=0$, a wtedy $y=3$. Punkt $(0,3)$ rzeczywiście należy do prostej.

Prostą zapisujemy jako $y=\frac12x-2$. Pole w każdym podpunkcie obliczamy jako pole trójkąta lub trapezu między tą prostą a wskazaną prostą poziomą.

a) Przecięcia z osiami to $(0,-2)$ i $(4,0)$, więc $P=\frac12\cdot4\cdot2=4.$

b) Dla $x=0$ i $x=2$ odległości prostej od osi $OX$ wynoszą odpowiednio $2$ i $1$: $P=\frac{2+1}{2}\cdot2=3.$

c) Dla $x=-4$ i $x=-1$ odległości od osi $OX$ wynoszą $4$ i $\frac52$: $P=\frac{4+\frac52}{2}\cdot3=\frac{39}{4}.$

d) Odległość między $y=2$ a daną prostą ma na końcach przedziału $[-2;4]$ wartości $5$ i $2$: $P=\frac{5+2}{2}\cdot6=21.$

Wyznaczamy współczynniki kierunkowe kolejnych boków. Dla $AB$ i $CD$ otrzymujemy $\frac12$, a dla $BC$ i $DA$ współczynnik $3$.

$$\begin{aligned} AB:&\ y=\frac12x,\\ BC:&\ y-1=3(x-2),\\ CD:&\ y-4=\frac12(x-3),\\ DA:&\ y-2=3(x+1). \end{aligned}$$

Po uproszczeniu dostajemy równania wszystkich prostych zawierających boki.

Dwie proste $A_1x+B_1y+C_1=0$ i $A_2x+B_2y+C_2=0$ są równoległe, gdy $A_1B_2=A_2B_1$.

a) $2\cdot6=(-4)\cdot(-3)=12$, a równania nie są proporcjonalne w całości, więc opisują różne proste równoległe.

b) $1\cdot(-2)=\sqrt2\cdot(-\sqrt2)=-2$. Także tutaj wyrazy wolne nie zachowują tej samej proporcji, więc proste są różne i równoległe.

Równanie $A(x-x_1)+B(y-y_1)=0$ ma współczynniki $A$ i $B$, takie same jak równanie $Ax+By+C=0$, więc opisuje prostą do niej równoległą.

Po podstawieniu $x=x_1$ i $y=y_1$ lewa strona jest równa $0$, zatem punkt $P(x_1,y_1)$ należy do tej prostej. Obie wymagane własności są więc spełnione.

Korzystamy z postaci $A(x-x_1)+B(y-y_1)=0$.

a) $2(x+3)-3(y-2)=0$, więc $2x-3y+12=0$.

b) $5x+4(y+3)=0$, więc $5x+4y+12=0$.

c) $(x+1)-2(y+4)=0$, więc $x-2y-7=0$.

d) Prosta $k$ jest pionowa, zatem równoległa do niej prosta przez $(-4,3)$ ma równanie $x=-4$.

a) Dla $y=x$ mamy $x-3x+6=0$, stąd $x=y=3$.

b) Dla $y=-x$ mamy $x+3x+6=0$, więc $x=-\frac32$ i $y=\frac32$.

c) Z układu $x+y=5$ oraz $x-3y+6=0$ dostajemy $y=\frac{11}{4}$ i $x=\frac94$.

Wierzchołki są punktami przecięcia każdej pary prostych. Rozwiązujemy trzy układy:

$$\begin{aligned} \begin{cases}5x+2y+13=0\\3x-5y+14=0\end{cases}&\Rightarrow(-3,1),\\ \begin{cases}3x-5y+14=0\\-8x+3y+4=0\end{cases}&\Rightarrow(2,4),\\ \begin{cases}5x+2y+13=0\\-8x+3y+4=0\end{cases}&\Rightarrow(-1,-4). \end{aligned}$$

W każdym prostokącie łączymy pary przeciwległych wierzchołków i wyznaczamy równanie prostej z dwóch punktów.

a) Przekątne łączą $(0,-3)$ z $(7,2)$ oraz $(0,2)$ z $(7,-3)$.

b) Łączymy $(-2,-1)$ z $(3,4)$ oraz $(-2,4)$ z $(3,-1)$.

c) Łączymy $(-1,-5)$ z $(4,0)$ oraz $(-1,0)$ z $(4,-5)$.

d) Łączymy $(-10,-50)$ z $(20,30)$ oraz $(-10,30)$ z $(20,-50)$. Po obliczeniu współczynników kierunkowych otrzymujemy równania podane w odpowiedzi.