MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 240

Sprowadzamy równania do postaci ułatwiającej rysowanie:

$k:\ x=2,\qquad l:\ x=4,\qquad m:\ y=-2,$

$n:\ y=2x,\qquad p:\ y=-x+3,\qquad r:\ y=-2x+4.$

Proste $k$ i $l$ są pionowe, a $m$ jest pozioma. Do wykreślenia pozostałych wystarczą po dwa punkty:

$n:(0,0),(1,2),\qquad p:(0,3),(3,0),\qquad r:(0,4),(2,0).$

Dla punktów o różnych pierwszych współrzędnych obliczamy współczynnik kierunkowy $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ i wyznaczamy wyraz wolny.

a) $a=-\frac34$, więc $y=-\frac34x-\frac54$, czyli $3x+4y+5=0$. Jest to wykres funkcji liniowej.

b) $a=\frac72$, więc $y=\frac72x+\frac12$, czyli $7x-2y+1=0$. Jest to wykres funkcji liniowej.

c) Punkty mają tę samą drugą współrzędną: $y=5$. Jest to wykres funkcji liniowej.

d) $a=-1$, więc $y=-x+\frac32$, czyli $2x+2y-3=0$. Jest to wykres funkcji liniowej.

e) Punkty mają tę samą pierwszą współrzędną: $x=-3$. Prosta pionowa nie jest wykresem funkcji liniowej.

f) Podobnie otrzymujemy $x=-\sqrt2$. Prosta pionowa nie jest wykresem funkcji liniowej.

W każdym równaniu wyznaczamy $y$.

a) $-4y=-3x+1$, więc $y=\frac34x-\frac14$.

b) $2y=-4x+5$, więc $y=-2x+\frac52$.

c) $5y=3x+2$, więc $y=\frac35x+\frac25$.

d) $\frac34y=-\frac25x-1$, więc $y=-\frac8{15}x-\frac43$.

e) $-\frac14y=2-3x$, więc $y=12x-8$.

f) $-5y=-4$, więc $y=\frac45$.

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy z dwóch punktów, a następnie zapisujemy obie postacie równania.

a) $a=\frac45$, więc $y=\frac45x+\frac{17}{5}$ oraz $4x-5y+17=0$.

b) $a=\frac53$, więc $y=\frac53x+\frac73$ oraz $5x-3y+7=0$.

c) Prosta jest pozioma: $y=5$, czyli $y-5=0$.

d) Prosta jest pionowa: $x=-1$, czyli $x+1=0$. Nie ma postaci kierunkowej.

e) $a=-\frac12$, więc $y=-\frac12x+\frac12$ oraz $x+2y-1=0$.

f) Prosta jest pozioma: $y=-\sqrt2$, czyli $y+\sqrt2=0$.

a) Prosta równoległa do osi $OX$ jest pozioma. Skoro przechodzi przez $(3,-4)$, ma równanie $y=-4$, czyli $y+4=0$.

b) Prosta prostopadła do osi $OX$ jest pionowa. Skoro przechodzi przez $(-2,4)$, ma równanie $x=-2$, czyli $x+2=0$.

Punkt przecięcia z osią $OX$ wyznaczamy, podstawiając $y=0$, a z osią $OY$ — podstawiając $x=0$.

a) Dla $y=0$ mamy $x=-1$, a dla $x=0$ mamy $y=-1$.

b) Dla $y=0$ mamy $x=3$, a dla $x=0$ mamy $y=2$.

c) Dla $y=0$ mamy $x=-9$, a dla $x=0$ mamy $y=3$.

d) Równanie daje $x=-\frac1{\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{2}$. Jest to prosta pionowa, która przecina oś $OX$, lecz jest równoległa do osi $OY$ i jej nie przecina.