MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 239

Znak $a$ określa kierunek prostej, a znak $b=f(0)$ jej położenie względem początku układu.

a) Prosta malejąca przez początek układu: $a<0$, $b=0$.

b) Prosta rosnąca przez początek układu: $a>0$, $b=0$.

c) Prosta rosnąca przecinająca dodatnią część osi $OY$: $a>0$, $b>0$.

d) Prosta pozioma nad osią $OX$: $a=0$, $b>0$.

e) Prosta malejąca przecinająca ujemną część osi $OY$: $a<0$, $b<0$.

f) Prosta pozioma pod osią $OX$: $a=0$, $b<0$.

a) Zmiana znaku w punkcie $x=2$ oznacza, że jest to miejsce zerowe, a funkcja jest malejąca. Zapisujemy $f(x)=a(x-2)$. Warunek $f(1)=4$ daje $-a=4$, więc $a=-4$ i $f(x)=-4x+8$.

b) Miejscem zerowym jest $x=-1$, a funkcja jest rosnąca. Zatem $f(x)=a(x+1)$. Warunek $f(-2)=-1$ daje $-a=-1$, więc $a=1$ i $f(x)=x+1$.

c) Nieconstantna funkcja liniowa przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste, więc nie może być dodatnia dla każdego $x$. Funkcja musi być stała, a z $f(2)=5$ wynika $f(x)=5$.

Przyjmijmy $f(t)=pt+q$ i porównajmy współczynniki przy $x$ oraz wyrazy wolne.

a) $p(2x+4)+q=x+2$, więc $2p=1$ i $4p+q=2$. Stąd $f(x)=\frac12x$.

b) $p(x+2)+q=x-2$, więc $p=1$ i $2p+q=-2$. Stąd $f(x)=x-4$.

c) $p(x-1)+q=2x-4$, więc $p=2$ i $-p+q=-4$. Stąd $f(x)=2x-2$.

d) Wyrażenie $3-5x$ przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste, zatem $f(x)=5$.

e) $5px+q=3x-4$, więc $p=\frac35$, $q=-4$ i $f(x)=\frac35x-4$.

f) $p(-x-4)+q=x$, więc $p=-1$, $q=-4$ i $f(x)=-x-4$.

g) Warunek ma być spełniony dla dowolnych rzeczywistych $a$ i $b$. W szczególności dla $a=0$ otrzymujemy $f(b)=f(x)$ dla wszystkich $b,x\in\mathbb R$. Funkcja przyjmuje więc tę samą wartość dla każdego argumentu i ma postać $f(x)=q$. Każda taka funkcja stała spełnia warunek.

h) Z pierwszej równości wynika $q=1$, a z drugiej $2p=4$, więc $p=2$. Zatem $f(x)=2x+1$.

Niech $f(x)=ax+b$.

a) Równość

$a(x+y)+b=(ax+b)+(ay+b)$

zachodzi dla wszystkich $x,y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $b=0$. Otrzymujemy $f(x)=ax$.

b) Po podstawieniu dostajemy po obu stronach

$\frac{a(x+y)}2+b,$

więc warunek spełnia każda funkcja liniowa $f(x)=ax+b$.

c) Równość $akx+b=k(ax+b)$ dla każdego $k$ wymaga $b=kb$ dla każdego $k$, a więc $b=0$. Otrzymujemy $f(x)=ax$.

Niech $f(x)=ax+b$. Wtedy

$g(x)=f(f(x))=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b.$

Współczynniki $a^2$ oraz $ab+b$ są stałe, więc $g$ ma postać funkcji liniowej. Teza została wykazana.

Niech $f(x)=ax+b$. Wówczas

$f(f(x))=a(ax+b)+b=a^2x+b(a+1).$

Porównanie z $4x+6$ daje układ

$a^2=4,\qquad b(a+1)=6.$

Dla $a=2$ otrzymujemy $3b=6$, więc $b=2$. Dla $a=-2$ otrzymujemy $-b=6$, więc $b=-6$. Obie funkcje po złożeniu dają $4x+6$.

Niech $g(x)=ax+b$.

a) Mamy

$f(g(x))=3ax+3b-2,$

$g(f(x))=a(3x-2)+b=3ax-2a+b.$

Porównanie wyrazów wolnych daje $3b-2=-2a+b$, czyli $a+b=1$. Zatem $g(x)=ax+1-a$ dla dowolnego $a\in\mathbb R$.

b) Warunek przyjmuje postać

$3ax+3b-2=-3x+2.$

Stąd $3a=-3$ oraz $3b-2=2$, więc $a=-1$, $b=\frac43$.