MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 238

Funkcja liniowa jest niemalejąca, gdy współczynnik przy $x$ jest nieujemny. Stąd

$2+3m\ge0,$

$m\ge-\frac23.$

Współczynnik kierunkowy funkcji wynosi $k-1$.

a) Funkcja jest rosnąca, gdy $k-1>0$, czyli $k>1$.

b) Funkcja jest malejąca, gdy $k-1<0$, czyli $k<1$.

c) Funkcja jest stała, gdy $k-1=0$, czyli $k=1$.

Prosta przechodząca wyłącznie przez ćwiartki II i IV musi przechodzić przez początek układu i mieć ujemny współczynnik kierunkowy.

Wyraz wolny jest równy zero, gdy

$4+m=0,$

czyli $m=-4$. Wtedy współczynnik kierunkowy wynosi

$2m-3=2\cdot(-4)-3=-11<0,$

więc otrzymana prosta spełnia warunek.

Prosta przechodzi przez ćwiartki I, II i III wtedy, gdy ma dodatni współczynnik kierunkowy i dodatni wyraz wolny. Otrzymujemy warunki

$4m+2>0\quad\text{oraz}\quad m-3>0.$

Pierwszy daje $m>-\frac12$, a drugi $m>3$. Ich częścią wspólną jest $m>3$.

Rozwiązanie równania podanego wzorem danej gałęzi jest miejscem zerowym tylko wtedy, gdy należy do przedziału tej gałęzi.

a) Dla $x<0$ równanie $x+4=0$ daje $x=-4$, a dla $x\ge0$ równanie $4-x=0$ daje $x=4$. Obie liczby należą do odpowiednich przedziałów.

b) Kolejne równania dają: $-x-2=0$, więc $x=-2$; $x=0$, więc $x=0$; $-x+6=0$, więc $x=6$. Każda liczba należy do przedziału właściwej gałęzi.

Zbiór wartości funkcji liniowej jest jednoelementowy dokładnie wtedy, gdy funkcja jest stała. Jej współczynnik kierunkowy musi więc być równy zero:

$3-5m=0,$

$m=\frac35.$

Dla tej wartości $f(x)=-\frac{12}{5}$ dla każdego $x$.

Nieconstantna funkcja liniowa przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne. Aby $f(x)\ge0$ dla każdego $x$, funkcja musi być stała:

$3k-2=0,$

stąd $k=\frac23$. Wówczas

$f(x)=k+1=\frac53>0,$

więc warunek jest spełniony.

Dla funkcji monotonicznej na przedziale domkniętym wartości skrajne występują na jego końcach.

a) Funkcja jest rosnąca: $f(0)=5$, $f(4)=13$.

b) Funkcja jest malejąca: $f(-1)=4$, $f(6)=-3$.

c) Funkcja jest stała i wszędzie ma wartość $5$.

d) Funkcja jest malejąca na $\langle-1;\infty)$. W lewym końcu $f(-1)=2$, natomiast dla $x\to\infty$ wartości dążą do $-\infty$, więc najmniejsza wartość nie istnieje.