MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 237

a) Miejsce zerowe funkcji $g$ spełnia równanie

$3x+12=0,$

stąd $x=-4$. Wykres $f$ przechodzi więc przez punkty $(-4,0)$ i $(0,6)$. Jego współczynnik kierunkowy jest równy

$a=\frac{6-0}{0-(-4)}=\frac32,$

zatem $f(x)=\frac32x+6$.

b) Gdyby wykresy przecinały się na osi $OY$, punkt przecięcia miałby pierwszą współrzędną $0$. Ponieważ $g(0)=6$, musiałby to być punkt $(0,6)$. Jednocześnie wykres $f$ miałby przechodzić przez $B(0,4)$. Wykres funkcji nie może zawierać dwóch różnych punktów o tej samej pierwszej współrzędnej, więc taka funkcja nie istnieje.

Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest dodatni.

• Dla $f$ współczynnik wynosi $2$, a miejsce zerowe to $x=2>0$.
• Dla $g$ współczynnik wynosi $0{,}1$, ale miejsce zerowe to $x=-0{,}5<0$.
• Funkcja $h$ ma współczynnik $-5$, więc jest malejąca.
• Dla $k$ współczynnik wynosi $\frac23$, a miejsce zerowe spełnia $\frac23x-\frac34=0$, zatem $x=\frac98>0$.

Końce podanych przedziałów wyznaczają poziomy $-2$ i $2$, więc wykres przechodzi przez punkty $(2,-2)$ oraz $(4,2)$. Współczynnik kierunkowy jest równy

$a=\frac{2-(-2)}{4-2}=2.$

Podstawiając punkt $(2,-2)$ do $f(x)=2x+b$, otrzymujemy

$-2=4+b,$

czyli $b=-6$. Funkcja $f(x)=2x-6$ rzeczywiście jest rosnąca, ma $f(2)=-2$ i $f(4)=2$, więc spełnia oba warunki.

W każdym podpunkcie podstawiamy podaną wartość $x_0$ i rozwiązujemy równanie $f(x_0)=0$.

a) $(m-3)\cdot1+2=0$, więc $m=1$.

b) $(2-m)(-2)-3=0$, czyli $2m-7=0$, więc $m=\frac72$.

c) $2(2m-3)-2m+5=0$, czyli $2m-1=0$, więc $m=\frac12$.

d) $3m-m-4=0$, więc $m=2$.

e) $2|m+4|-6=0$, zatem $|m+4|=3$, więc $m=-7$ lub $m=-1$.

f) $4(1-|m|)+4=0$, zatem $|m|=2$, więc $m=-2$ lub $m=2$.

Skoro miejscem zerowym jest $2$, funkcję można zapisać jako $f(x)=a(x-2)$, gdzie $a\ne0$.

a) Z warunku $f(-1)=2$ otrzymujemy

$-3a=2,$

więc $a=-\frac23$ i $f(x)=-\frac23x+\frac43$.

b) Punkt przecięcia z osią $OY$ daje $f(0)=-4$, zatem

$-2a=-4,$

więc $a=2$ i $f(x)=2x-4$.

Miejsca zerowe obu funkcji są równe

$x_f=\frac{k+3}{3}=\frac{k}{3}+1,\qquad x_g=k-2.$

Mają różnić się o $2$, więc

$\left|\frac{k}{3}+1-(k-2)\right|=2,$

$\left|3-\frac{2k}{3}\right|=2.$

Stąd

$3-\frac{2k}{3}=2\quad\text{lub}\quad 3-\frac{2k}{3}=-2,$

co daje odpowiednio $k=\frac32$ lub $k=\frac{15}{2}$.

Ponieważ $a\ne0$ i $b\ne0$, miejsca zerowe obu funkcji istnieją i wynoszą

$x_f=-\frac ba,\qquad x_g=-\frac ab.$

Jeżeli się pokrywają, to

$-\frac ba=-\frac ab.$

Mnożąc przez $ab\ne0$, otrzymujemy $b^2=a^2$, czyli

$(a-b)(a+b)=0.$

Zatem $a=b$ lub $a=-b$, co należało wykazać.

Funkcja liniowa jest nierosnąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest niedodatni. Zatem

$-3-4m\le0,$

$-4m\le3,$

$m\ge-\frac34.$