MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 236

Miejsce zerowe spełnia równanie $f(x)=0$.

a) $-2x+6=0$, więc $x=3$.

b) $\frac34x+1=0$, więc $x=-\frac43$.

c) $-2x=0$, więc $x=0$.

d) $3x-6=0$, więc $x=2$.

e) $\frac23x-\frac13=0$, więc $x=\frac12$.

f) $-\frac47x+\frac23=0$, więc

$$x=\frac23\cdot\frac74=\frac76.$$

g) $\sqrt3x-2=0$, zatem

$$x=\frac2{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}.$$

h) $-\sqrt2x-\frac{\sqrt2}{2}=0$, więc $x=-\frac12$.

i) Stała funkcja $f(x)=3$ nigdy nie przyjmuje wartości $0$.

Punkt przecięcia z osią $OX$ ma $y=0$, a punkt przecięcia z osią $OY$ ma $x=0$.

a) Z równania $-2x+4=0$ otrzymujemy $x=2$, a $f(0)=4$.

b) Równanie $-3x=0$ daje $x=0$, a także $f(0)=0$. Oba przecięcia są więc tym samym punktem.

c) Wykres $y=0$ jest osią $OX$, zatem każdy jego punkt jest wspólny z osią $OX$; z osią $OY$ wspólny jest punkt $(0,0)$.

d) Wykres $y=2$ jest równoległy do osi $OX$, a oś $OY$ przecina dla $x=0$.

Przecięcie z osią $OY$ otrzymujemy dla $x=0$:

$$f(0)=4,$$

więc jeden wierzchołek to $(0,4)$. Miejsce zerowe spełnia

$$-\frac12x+4=0,$$

stąd $x=8$, a drugi wierzchołek to $(8,0)$. Przyprostokątne trójkąta mają długości $4$ i $8$, zatem

$$P=\frac12\cdot4\cdot8=16.$$

a) Prosta $y=\frac43x+4$ przecina oś $OX$ w $(-3,0)$, a prosta $y=-\frac23x+4$ w $(6,0)$. Obie przecinają się w $(0,4)$. Zacieniowany trójkąt ma podstawę długości $9$ i wysokość $4$:

$$P_a=\frac12\cdot9\cdot4=18.$$

b) Skan strony pokazuje, że oś $OY$ dzieli zacieniowany obszar na dwa trójkąty. Prosta $y=\frac54x+5$ przecina osie w $(-4,0)$, $(0,5)$, więc pole lewego trójkąta wynosi

$$\frac12\cdot4\cdot5=10.$$

Prosta $y=-\frac12x+3$ przecina osie w $(6,0)$, $(0,3)$, więc pole prawego trójkąta wynosi

$$\frac12\cdot6\cdot3=9.$$

Łączne pole zacieniowanej figury to $10+9=19$.

Punkty przecięcia z osią $OY$ to

$$A=(0,-1),\qquad B=(0,3).$$

Punkt przecięcia wykresów spełnia

$$2x-1=-6x+3,$$ $$8x=4,$$

więc $x=\frac12$, $y=0$ i $C=(\frac12,0)$. Odcinek $AB$ ma długość $4$, a odległość punktu $C$ od osi $OY$ wynosi $\frac12$. Zatem

$$P=\frac12\cdot4\cdot\frac12=1.$$

Funkcja liniowa jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest dodatni.

a) $2k-5>0$, więc $k>\frac52$.

b) $3-k>0$, więc $k<3$.

c) $4-2k>0$, więc $k<2$.

d) Po zebraniu wyrazów z $x$ współczynnik kierunkowy wynosi $k+2$. Warunek $k+2>0$ daje $k>-2$.

Funkcja liniowa jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest ujemny.

a) $p-1<0$, więc $p<1$.

b) $-p<0$, więc $p>0$.

c) Po uporządkowaniu

$$g(x)=(p-4)x+3p-2.$$

Warunek $p-4<0$ daje $p<4$.

d) Współczynnik kierunkowy to $-(p+5)$. Nierówność $-(p+5)<0$ daje $p>-5$.

Proporcjonalność prosta ma wzór $f(x)=ax$. Z punktu $A$ wyznaczamy

$$a=\frac{18}{40}=\frac9{20}.$$

Sprawdzamy pozostałe punkty:

$$f(280)=\frac9{20}\cdot280=126,$$ $$f(360)=\frac9{20}\cdot360=162,$$ $$f(420)=\frac9{20}\cdot420=189\neq198.$$