MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 235

Niech funkcja liniowa ma postać $f(x)=ax+b$. Ponieważ punkty $A$ i $B$ należą do jej wykresu, mamy

$$l=ak+b,\qquad n=am+b.$$

Obliczamy wartość funkcji dla pierwszej współrzędnej punktu $C$:

$$\begin{aligned} f\left(\frac{k+m}{2}\right) &=a\frac{k+m}{2}+b\\ &=\frac{ak+am}{2}+b\\ &=\frac{(l-b)+(n-b)}{2}+b\\ &=\frac{l+n}{2}. \end{aligned}$$

Jest to druga współrzędna punktu $C$, więc $C$ należy do tego samego wykresu.

Wykres funkcji jest prostopadły do osi $OY$, gdy jest poziomy, czyli gdy jego współczynnik kierunkowy jest równy $0$.

a) $m-3=0$, więc $m=3$.

b) $m=0$.

c) $m^2-16=0$, więc $m=-4$ lub $m=4$.

d) $|m-3|=0$, więc $m=3$.

e) $|m|-3=0$, więc $m=-3$ lub $m=3$.

f) Funkcja $f(x)=m-5$ jest stała dla każdego $m$, zatem jej wykres jest zawsze poziomy.

Obliczamy wartość funkcji dla argumentu $3d-2$:

$$f(3d-2)=6(3d-2)+d-1=19d-13.$$

Z warunku zadania:

$$19d-13=15d+7,$$ $$4d=20,$$

więc $d=5$. Wtedy $f(x)=6x+4$, a dla $x=0$ mamy $f(0)=4$.

Z warunku $a+b=8$ mamy $b=8-a$. Punkt $A(5,0)$ należy do wykresu, więc

$$5a+b=0.$$

Podstawiamy $b=8-a$:

$$5a+8-a=0,$$ $$4a=-8,$$

stąd $a=-2$ i $b=10$. Punkt przecięcia z osią $OY$ ma współrzędne $(0,b)$.

Równoległość wykresów wymaga równości współczynników kierunkowych:

$$m^2=4.$$

Stąd $m=-2$ lub $m=2$. Wyraz wolny funkcji $f$ jest równy $3m$, a funkcji $g$ równy $6$.

Dla $m=2$ oba wyrazy wolne są równe $6$, więc wykresy się pokrywają i przecinają oś $OY$ w tym samym punkcie.

Dla $m=-2$ wyraz wolny funkcji $f$ wynosi $-6$, zatem punkty przecięcia z osią $OY$ są różne.

Wykresy dwóch funkcji liniowych pokrywają się wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same współczynniki kierunkowe i te same wyrazy wolne.

a)

$$4-m=0,\qquad 5=9-m.$$

Oba równania dają $m=4$, więc taka wartość istnieje.

b)

$$3m-1=0,\qquad m+6=5.$$

Pierwsze równanie daje $m=\frac13$, a drugie $m=-1$, więc nie ma wspólnej wartości.

c)

$$6-3m=0,\qquad -6=m-4.$$

Pierwsze równanie daje $m=2$, a drugie $m=-2$, więc nie ma wspólnej wartości.

a) Punkt $P(2,-1)$ należy do obu wykresów, więc

$$-1=3\cdot2+b,\qquad -1=\frac a2\cdot2-5.$$

Stąd $b=-7$ i $a=4$.

b) Pokrywanie się wykresów wymaga

$$\frac a2=3,\qquad -5=b.$$

Zatem $a=6$, $b=-5$.

c) Równoległość wymaga równości współczynników kierunkowych:

$$\frac a2=3.$$

Stąd $a=6$, a wyraz wolny $b$ może być dowolny.

Dla ustalonego $x$ wartość $y=2x+b$ zmienia się dokładnie tak jak parametr $b$. Wyznaczamy więc dopuszczalne przedziały wartości $b$.

a) $b\in\langle0;1\rangle$, zatem otrzymujemy pas między prostymi $y=2x$ i $y=2x+1$.

b) $|b|\leq1$ oznacza $b\in\langle-1;1\rangle$, więc jest to pas między $y=2x-1$ i $y=2x+1$.

c)

$$|2b-1|\leq5 \iff -5\leq2b-1\leq5 \iff -2\leq b\leq3.$$

Otrzymujemy pas między $y=2x-2$ i $y=2x+3$.

d) Warunek $1\leq|b|\leq3$ daje

$$b\in\langle-3;-1\rangle\cup\langle1;3\rangle.$$

Są to dwa pasy: między $y=2x-3$, $y=2x-1$ oraz między $y=2x+1$, $y=2x+3$.