MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 234

Na osi $OY$ mamy $x=0$. W każdym podpunkcie wybieramy część wzoru, której przedział zawiera zero.

a) $0\in(-\infty;3)$, więc $f(0)=4$.

b) $0\in\langle-2;+\infty)$, więc $f(0)=3\cdot0-5=-5$.

c) $0\in\langle0;+\infty)$, więc $f(0)=-0{,}8\cdot0-2=-2$.

d) $0\in\langle-5;5)$, więc $f(0)=-11$.

Dla dwóch punktów wykresu współczynnik kierunkowy obliczamy ze wzoru $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, a następnie wyznaczamy wyraz wolny.

a) Punkty to $(-1,5)$ i $(4,0)$.

$$a=\frac{0-5}{4-(-1)}=-1,\qquad 5=(-1)(-1)+b,$$

zatem $b=4$.

b) Punkty to $(1,7)$ i $(3,2)$.

$$a=\frac{2-7}{3-1}=-\frac52,\qquad b=7+\frac52=\frac{19}{2}.$$

c) Punkty to $(-3,-1)$ i $(-2,5)$.

$$a=\frac{5-(-1)}{-2-(-3)}=6,\qquad -1=6(-3)+b,$$

więc $b=17$.

d) Dwie różne wartości argumentu dają tę samą wartość $-4$, więc funkcja jest stała.

Równoległość wymaga równości współczynników kierunkowych. Ponieważ wykres przechodzi przez $A(0,7)$, jego wyraz wolny musi być równy $7$.

a)

$$m+4=2,\qquad k=7,$$

czyli $m=-2$, $k=7$.

b)

$$3m-1=4,\qquad -2k+6=7,$$

więc $m=\frac53$, $k=-\frac12$.

c) Współczynnik kierunkowy funkcji $g$ to $-\frac43$.

$$6-4m=-\frac43,\qquad 5-3k=7,$$

stąd $m=\frac{11}{6}$, $k=-\frac23$.

d)

$$\frac{m-3}{2}=6,\qquad \frac{1-4k}{3}=7,$$

zatem $m=15$, $k=-5$.

Wybieramy dwa punkty wykresu $y=3x-5$:

$$P=(0,-5),\qquad Q=(3,4).$$

Odcinek $PQ$ ma współczynnik kierunkowy $3$. Dobierzmy $R=(-2,-2)$. Odcinek $RT$, gdzie $T=(0,4)$, również ma współczynnik

$$\frac{4-(-2)}{0-(-2)}=3.$$

Zatem $PQ\parallel RT$, więc czworokąt $PQTR$ jest trapezem.

Z warunku $a+b=10$ mamy

$$f(1)=a\cdot1+b=a+b=10.$$

Wartość funkcji dla argumentu $1$ nie zależy więc od wyboru współczynników $a$ i $b$.

W punkcie przecięcia wartości funkcji są równe:

$$x-1=4-ax,$$ $$(a+1)x=5.$$

Dla $a=-1$ proste są równoległe i nie mają punktu wspólnego. Dla $a\neq-1$:

$$x=\frac5{a+1},\qquad y=x-1=\frac{4-a}{a+1}.$$

Warunek $x>0$ daje $a>-1$. Przy dodatnim mianowniku warunek $y>0$ daje $a<4$.