MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 232

Do naszkicowania każdej prostej wystarczą dwa punkty. Po sprowadzeniu wzorów do postaci $f(x)=ax+b$ otrzymujemy:

W każdym podpunkcie prowadzimy prostą przez wskazaną parę punktów.

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy. Przyjmujemy więc $f(x)=ax+b$ ze współczynnikiem $a$ odczytanym ze wzoru $g$ i podstawiamy współrzędne punktu $P$.

a) $f(x)=3x+b$ i $2=3\cdot(-1)+b$, więc $b=5$.

b) $f(x)=-\frac18x+b$ i $-1=-\frac18\cdot(-4)+b=\frac12+b$, więc $b=-\frac32$.

c) $f(x)=-2x+b$ i $5=-2\cdot2+b$, więc $b=9$.

d) $f(x)=\frac{\sqrt5}{5}x+b$ i $-\sqrt5=\frac{\sqrt5}{5}\cdot\sqrt5+b=1+b$, więc $b=-\sqrt5-1$.

Na osi $OY$ mamy $x=0$. Podstawiamy tę wartość do każdego wzoru:

$$\begin{aligned} &\text{a)}\ f(0)=5, &&\text{b)}\ f(0)=-8, &&\text{c)}\ f(0)=-\frac15,\\ &\text{d)}\ f(0)=7, &&\text{e)}\ f(0)=0, &&\text{f)}\ f(0)=-3. \end{aligned}$$

Dla dwóch różnych punktów współczynnik kierunkowy wynosi $a=\frac{y_M-y_K}{x_M-x_K}$, a wyraz wolny odczytujemy z punktu o odciętej $0$.

a) $a=\frac{4-6}{-2-0}=1$, a $b=6$.

b) $a=\frac{8-(-1/4)}{5-0}=\frac{33}{20}$, a $b=-\frac14$.

c) $a=\frac{9-(-2)}{0-(-3)}=\frac{11}{3}$, a $b=9$.

d) $a=\frac{0-1/5}{5-0}=-\frac1{25}$, a $b=\frac15$.

Zapisujemy $f(x)=ax+b$. Ponieważ wykres przechodzi przez $P(0,8)$, mamy $b=8$. Warunek z treści daje

$$f(5)-f(3)=(5a+8)-(3a+8)=2a=14,$$

więc $a=7$.

Każdy punkt osi $OY$ ma odciętą $x=0$. Dla dowolnej rzeczywistej wartości parametru $a$ otrzymujemy

$f(0)=a\cdot0+4=4.$

Zatem punkt wykresu leżący na osi $OY$ ma zawsze współrzędne $(0,4)$, co dowodzi tezy.

Punkt przecięcia z osią $OY$ otrzymujemy dla $x=0$. Zatem

$A=(0,f(0))=(0,5),\qquad B=(0,g(0))=(0,-3).$

Oba punkty leżą na osi pionowej, więc długość odcinka jest różnicą ich rzędnych:

$|AB|=|5-(-3)|=8.$