MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 228

Miejscami zerowymi są trzycyfrowe liczby zakończone cyfrą $0$:

$100,110,120,\ldots,990.$

Jest to ciąg arytmetyczny o różnicy $10$, zatem liczba jego wyrazów wynosi

$\frac{990-100}{10}+1=90.$

Dla naturalnego $x$ wartość

$f(x)=1-\frac34x$

ma być również naturalna. Warunek $f(x)\ge0$ daje $x\le\frac43$, więc wystarczy sprawdzić $x=0$ i $x=1$. Otrzymujemy $f(0)=1$, natomiast $f(1)=\frac14$ nie jest liczbą naturalną. Jedynym takim punktem jest $(0,1)$.

Ze skanu strony 228 odczytujemy, że od lewego, otwartego końca dziedziny $x=-5$ do $x=-2$ wykres opada. W punkcie $x=-2$ następuje skok w dół, a następnie lewa gałąź paraboli również opada aż do minimum przy $x=0$. Po prawej stronie zera wykres już rośnie. Zatem spośród podanych odpowiedzi cały przedział malejącości to $(-5;0\rangle$.

Żądane wartości spełniają $y\ge1$. Dla $y=\frac2x$ oznacza to $x>0$ oraz

$\frac2x\ge1\iff x\le2.$

Dziedzina $(0;2\rangle$ daje dokładnie wszystkie wartości od $1$ wzwyż: dla każdego $y\ge1$ argument $x=\frac2y$ należy do tego przedziału.

Dla $x<0$ lewa strona jest ujemna, więc nierówność nie zachodzi. Dla $x>0$ możemy pomnożyć przez $x$ bez zmiany zwrotu:

$\frac1x>1\iff1>x.$

Łącznie otrzymujemy $0<x<1$.

Przesunięcie wykresu o $6$ jednostek w górę zwiększa każdą wartość funkcji o $6$:

$g(x)=f(x)+6.$

Po przekształceniu dostajemy $f(x)=g(x)-6$.

Punkt wspólny musi spełniać

$\sqrt{x+2}=\sqrt{2-x}.$

Obie strony są nieujemne, więc podnosimy równanie do kwadratu:

$x+2=2-x\iff2x=0\iff x=0.$

Argument $0$ należy do obu dziedzin, a wspólny punkt to $(0,\sqrt2)$.

Postać

$f(x)=(x+3)^2-2=(x-(-3))^2-2$

oznacza przesunięcie paraboli $y=x^2$ o $3$ jednostki w lewo i $2$ jednostki w dół. Wektor przesunięcia ma więc współrzędne $[-3;-2]$.