MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 227

Przesunięcie wykresu w poziomie lub w pionie nie zmienia monotoniczności, więc funkcje z podpunktów a) i b) pozostają rosnące.

a) Gdy $x$ rośnie, rośnie też $x-4$, zatem $f(x-4)$ jest rosnąca.

b) Funkcja $f(x+5)$ jest rosnąca, a odjęcie $2$ od jej wartości tego nie zmienia.

c) Gdy $x$ rośnie, argument $-x$ maleje. Ponieważ $f$ jest rosnąca, $f(-x)$ jest malejąca.

d) Pomnożenie wszystkich wartości rosnącej funkcji przez $-1$ odwraca porządek wartości, więc $-f(x)$ jest malejąca.

e) Na $(-\infty;0\rangle$ wartość $|x|$ maleje, a na $\langle0;\infty)$ rośnie. Funkcja $f(|x|)$ jest więc odpowiednio malejąca i rosnąca, czyli nie jest monotoniczna w $\mathbb R$.

f) Bez informacji o znaku wartości $f$ nie ma jednej odpowiedzi. Dla $f(x)=e^x$ funkcja $|f(x)|$ jest rosnąca, dla $f(x)=-e^{-x}$ jest malejąca, a dla $f(x)=x$ funkcja $|f(x)|=|x|$ jest niemonotoniczna.

Równanie z wartością bezwzględną rozbijamy na dwa warunki:

$|f(x)|=2\iff f(x)=2\quad\text{lub}\quad f(x)=-2.$

Ze skanu strony 227 odczytujemy, że poziom $y=2$ wykres osiąga dla $x=-4$. Otwarty punkt $(4,2)$ nie należy do wykresu. Poziom $y=-2$ przecina wykres dla $x=-2$ oraz $x=1$.

Niech $t=f(x)$. Z założenia $t\in\langle-2;6\rangle$.

a) Wartości $|t|$ biegną od $0$ do $6$, ponieważ przedział zawiera zero.

b) Mamy $t-3\in\langle-5;3\rangle$, więc $|t-3|\in\langle0;5\rangle$.

c) Mamy $t-8\in\langle-10;-2\rangle$. Wszystkie te liczby są ujemne, zatem $|t-8|\in\langle2;10\rangle$.

a) Wartość bezwzględna nie zmienia miejsc zerowych: $|f(x)|=0\iff f(x)=0$. Otrzymujemy $x=-3$ lub $x=1$.

b) Warunek $|f(-x)|=0$ jest równoważny $-x\in\{-3,1\}$, zatem $x\in\{3,-1\}$.

c) Warunek $f(|x|)=0$ wymaga $|x|=-3$ albo $|x|=1$. Pierwsze równanie nie ma rozwiązań, a drugie daje $x=-1$ lub $x=1$.

Argument funkcji $f$ musi należeć do $\langle-10;4\rangle$.

a) Warunek $|x|\in\langle-10;4\rangle$ sprowadza się do $|x|\le4$, czyli $x\in\langle-4;4\rangle$.

b) Dla $-|x|\in\langle-10;4\rangle$ górna granica jest spełniona automatycznie, a $-|x|\ge-10$ daje $|x|\le10$. Stąd $x\in\langle-10;10\rangle$.

c) Wartość zewnętrzna bezwzględna nie wpływa na dziedzinę. Z warunku $-x\in\langle-10;4\rangle$ otrzymujemy $x\in\langle-4;10\rangle$.

Miejsca zerowe spełniają

$\bigl||x|-3\bigr|=m.$

Lewa strona jest nieujemna, więc dla $m<0$ rozwiązań nie ma. Dla $m=0$ otrzymujemy $|x|=3$, czyli dwa rozwiązania. Gdy $0<m<3$, równania $|x|=3-m$ oraz $|x|=3+m$ dają po dwa rozwiązania, łącznie cztery. Dla $m=3$ mamy $|x|=0$ albo $|x|=6$, więc trzy rozwiązania. Gdy $m>3$, pozostaje tylko $|x|=3+m$, co daje dwa rozwiązania.

W odwrotnej proporcjonalności iloczyn odpowiadających wartości jest stały:

$xy=6\cdot14=84.$

a) $a\cdot21=84$, więc $a=4$. Ponadto $7b=84$, zatem $b=12$. Różnica wynosi $12-4=8$.

b) $33{,}6c=84$, więc $c=2{,}5$. Z kolei $2{,}8d=84$, stąd $d=30$. Iloraz $d:c=30:2{,}5=12$.

Ładunek obejmuje

$12\cdot15=180$

paczek. Przy pojemności $16$ paczek na kurs potrzeba

$\frac{180}{16}=11{,}25$

kursu. Liczba kursów musi być całkowita, więc zaokrąglamy w górę do $12$.

Czas $24$ min to $\frac{24}{60}=0{,}4$ h, więc odległość między miejscowościami wynosi

$s=75\cdot0{,}4=30\ \mathrm{km}.$

a) Piechur potrzebuje

$t=\frac{30}{6}=5\ \mathrm h.$

b) Czas krótszy o $4$ min wynosi $20$ min, czyli $\frac13$ h. Wymagana prędkość to

$v=\frac{30}{1/3}=90\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}.$