MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 225

a) $(x-1)^2=(x-7)^2.$ Równość kwadratów daje $x-1=x-7$ (sprzeczność) albo $x-1=-x+7$, skąd $x=4$.

b) $(x+3)^2=(x-5)^2.$ Pierwsza możliwość $x+3=x-5$ jest sprzeczna, a z $x+3=-x+5$ otrzymujemy $x=1$.

Ze skanu odczytujemy wierzchołki wykresu $(-6,-3),\quad(0,3),\quad(2,3),\quad(5,0),$ czyli

t+3&-6\le t\le0,\\ 3&0\le t\le2,\\ 5-t&2\le t\le5. \end{cases}$$ **a)** Wspólna dziedzina wyrażeń to $\langle-5;4\rangle$. Dla $-5\le x\le-1$ suma wynosi $$(x+1+3)+(x-1+3)=2x+6,$$ więc zeruje się dla $x=-3$. Na pozostałych odcinkach suma jest dodatnia, zatem innych rozwiązań nie ma. **b)** Wspólna dziedzina to $\langle-4;5\rangle$. Dla $-4\le x\le0$ mamy $$f(x)+f(x-2)=(x+3)+(x+1)=2x+4,$$ co jest dodatnie dla $x>-2$. Na całym dalszym odcinku $\langle0;5\rangle$ suma pozostaje dodatnia.

Współrzędne wektora od $P$ do $Q$ otrzymujemy, odejmując współrzędne punktu początkowego od końcowego: $\overrightarrow{PQ}=[x_Q-x_P,y_Q-y_P].$ Stąd

\overrightarrow{BD}=[3,2],\quad \overrightarrow{CB}=[3,1],$$ $$\overrightarrow{CA}=[-2,6],\quad \overrightarrow{DA}=[-8,3],\quad \overrightarrow{CD}=[6,3].$$

Wektorem przeciwnym do $\overrightarrow{AB}$ jest $\overrightarrow{BA}=A-B$.

a) $\overrightarrow{BA}=[1-4,3-8]=[-3,-5]$.

b) $\overrightarrow{BA}=[-1-(-2),-4-3]=[1,-7]$.

c) $\overrightarrow{BA}=[1-7,-5-(-1)]=[-6,-4]$.

d) $\overrightarrow{BA}=[-a-b,b-(-a)]=[-a-b,a+b]$.

Postać $(x-p)^2+q$ oznacza przesunięcie o wektor $[p,q]$.

a) Wierzchołek ma współrzędne $(-5,1)$.

b) Wierzchołek ma współrzędne $(2,-7)$.

c) $x^2-6x+10=(x-3)^2+1.$

d) $x^2+4x+1=(x+2)^2-3.$

Każdy wykres otrzymujemy przez przesunięcie wykresu $y=\sqrt x$.

a) Wektor $[0,-4]$, dziedzina $\langle0;\infty)$ i zbiór wartości $\langle-4;\infty)$.

b) Wektor $[0,3]$, dziedzina $\langle0;\infty)$ i zbiór wartości $\langle3;\infty)$.

c) Wektor $[-3,0]$, dziedzina $\langle-3;\infty)$ i zbiór wartości $\langle0;\infty)$.

d) Wektor $[5,0]$, dziedzina $\langle5;\infty)$ i zbiór wartości $\langle0;\infty)$.

a) Dziedzina wymaga $x\ge-4$. Aby podnieść nierówność $\sqrt{x+4}<x+2$ do kwadratu, musi być $x>-2$. Wtedy $x+4<(x+2)^2\iff x(x+3)>0,$ co po uwzględnieniu warunków daje $x>0$.

b) Niech $t=\sqrt{x-2}\ge0$, więc $x=t^2+2$. Wówczas $t+1\ge\frac{t^2+2}{2}\iff t(2-t)\ge0.$ Zatem $0\le t\le2$, czyli $2\le x\le6$.

c) Warunek jest równoważny $\sqrt{x+7}+|x|\le5$. Dla $x\ge0$ po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy $(x-2)(x-9)\ge0$, co w dopuszczalnym zakresie daje $0\le x\le2$. Dla $x<0$ otrzymujemy $(x+3)(x+6)\ge0$ oraz warunek $x\ge-5$, więc $-3\le x<0$.