MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 224

a) Kolejne punkty wykresu odległości (czas, kilometry) to

Ze skanu odczytujemy zbiór wartości funkcji $f$: $f(D_f)=\langle-1;3\rangle.$ Dodanie $b$ przesuwa oba końce zbioru wartości o $b$, więc $g(D_g)=\langle b-1;b+3\rangle.$ Porównanie z $\langle-12;-8\rangle$ daje $b-1=-12$, czyli $b=-11$; drugi koniec również spełnia $b+3=-8$.

Lewa gałąź ma zbiór wartości $(-\infty;2\rangle$, a prawa, dla $x>0$, ma zbiór $(b;\infty)$.

a) Ich suma jest całą prostą dokładnie wtedy, gdy $b\le2$.

b) Obie gałęzie są rosnące. Cała funkcja jest rosnąca dokładnie wtedy, gdy każda wartość prawej gałęzi jest większa od $f(0)=2$, czyli gdy $b\ge2$.

c) Lewa gałąź zawsze ma zero $x=-2$. Prawa ma dodatkowe zero $x=-\frac b2>0$ dokładnie dla $b<0$.

d) Lewa gałąź zawsze przyjmuje wartość $1$ dla $x=-1$. Równanie $2x+b=1$ ma dodatnie rozwiązanie dokładnie wtedy, gdy $b<1$.

Równanie ma postać $x^2+b=1\iff x^2=1-b.$ Dwa różne rozwiązania istnieją, gdy $1-b>0$. Oba należą do $\langle-4;4\rangle$ dokładnie wtedy, gdy $\sqrt{1-b}\le4\iff1-b\le16.$ Łącznie otrzymujemy $-15\le b<1$.

a) Zgodnie z opisem $f(x)=|x|-2,\qquad x\in(-5;7\rangle.$

b) Minimum $-2$ jest osiągane dla $x=0$, a maksimum $5$ dla $x=7$, więc $f(D_f)=\langle-2;5\rangle$.

c) $|x|-2=0$ daje $x=-2$ lub $x=2$.

d) Na $\langle-4;3\rangle$ minimum wynosi $-2$ dla $x=0$, a maksimum $2$ dla $x=-4$.

e) Wspólna dziedzina obu stron to $(-4;6\rangle$. Równanie $|x-1|-2=|x+1|-2$ oznacza równe odległości od $1$ i $-1$, zatem $x=0$.