MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 223

Niech $x_1<x_2$.

a) $f(x_1)-f(x_2)=\frac{x_2-x_1}{3}>0,$ więc $f(x_1)>f(x_2)$ i $f$ jest malejąca. Jednocześnie $g(x_2)-g(x_1)=\frac{x_2-x_1}{2}>0,$ zatem $g$ jest rosnąca.

b) Z $x_1<x_2$ wynika $x_1^3<x_2^3$. Po zmianie znaku i odjęciu $1$ otrzymujemy $-x_1^3-1>-x_2^3-1$, więc $f$ jest malejąca. Dodanie $2$ do nierówności sześcianów daje $x_1^3+2<x_2^3+2$, zatem $g$ jest rosnąca.

a) Dla $1<x_1<x_2$ oba czynniki $1-x_1$ i $1-x_2$ są ujemne, więc ich iloczyn jest dodatni. Liczymy

\frac{x_2-x_1}{(1-x_2)(1-x_1)}>0.$$ Zatem funkcja jest rosnąca na $(1;\infty)$. **b)** Dla $x_1<x_2<0$ iloczyn $x_1x_2$ jest dodatni. Mamy $$f(x_1)-f(x_2) =(x_2-x_1)\left(1+\frac1{x_1x_2}\right)>0.$$ A więc $f(x_1)>f(x_2)$ i funkcja jest malejąca na $(-\infty;0)$.

a) Funkcja liniowa jest malejąca. W punkcie $x=1$ osiąga minimum $-6$. Gdy $x\to-2^+$, wartości dążą do $6$, ale $-2$ nie należy do przedziału, więc maksimum nie istnieje.

b) Dla $-1\le x\le1$ mamy $-3\le-3x^2\le0$. Maksimum $0$ jest dla $x=0$, a minimum $-3$ dla $x=\pm1$.

c) Na $(-1;2\rangle$ minimum $0$ występuje dla $x=0$, a maksimum $2$ dla $x=2$.

d) Funkcja $2-\sqrt x$ jest malejąca na $\langle1;\infty)$. Maksimum wynosi $1$ dla $x=1$, natomiast wartości nie są ograniczone z dołu, więc minimum nie istnieje.

Ze skanu odczytujemy wierzchołki łamanej $(-7,3),\quad(-2,-2),\quad(4,1),\quad(6,-1),$ przy czym ostatni punkt jest niezamalowany. Stąd dziedzina kończy się w $6$ bez tego argumentu, a wartości od $-2$ do $3$ są osiągane. Przecięcia z osią $OX$ wypadają dla $x=-4,2,5$, a jedyny maksymalny przedział wzrostu biegnie od $-2$ do $4$.

Z wykresu $f(-6)=2$, $f(0)=-1$ i $f(4)=1$, więc $f(-6)-f(0)f(4)=2-(-1)\cdot1=3.$

Korzystamy z $f(x)=-\frac12x^2$ i przekształcamy warunki na $x^2$.

a) $-\frac12x^2<-2\iff x^2>4$.

b) $-2\le-\frac12x^2<-\frac12\iff1<x^2\le4$.

c) $-\frac12\le-\frac12x^2<0\iff0<x^2\le1$.

d) $-8<-\frac12x^2\le0\iff x^2<16$.

a) Dziedzina wymaga $x\ne0$. Po pomnożeniu przez $x$ otrzymujemy $x^3=8$, więc $x=2$.

b) Musi być $x>0$. Równanie $1=x\sqrt x$ ma jedyne dodatnie rozwiązanie $x=1$.

c) Dla $x\ge1$ obie strony są nieujemne. Po podniesieniu do kwadratu dostajemy $4x^2+4x+1=x-1\iff4x^2+3x+2=0.$ Wyróżnik wynosi $9-32<0$, więc rozwiązań brak.

d) Dla $x\ne0$ równanie jest równoważne $|x|^3=1$, zatem $x=-1$ albo $x=1$.