MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 222

Do dziedziny należą całkowite argumenty $-2,-1,0,2,3$; liczba $1$ jest wyłączona przez oba warunki.

$f(-2)=1-2(-2)=5,\qquad f(-1)=3,\qquad f(0)=1,$ $f(2)=2,\qquad f(3)=3^2+1=10.$

W każdym przypadku obie gałęzie spotykają się w jednym wierzchołku.

a) Dla $x\le6$ mamy $6-x=|x-6|$, a dla $x>6$ mamy $x-6=|x-6|$.

b) Lewa i prawa gałąź są równe odpowiednio $-x-3$ oraz $x-3$, czyli razem $|x|-3$.

c) Obie gałęzie mają w $x=1$ wartość $4$ i nachylenia $-1,1$, zatem tworzą wykres $|x-1|+4$.

d) Wierzchołek ma współrzędne $(-3,-2)$, więc wzór to $|x+3|-2$.

Przedziały gałęzi pokrywają bez luk przedział $\langle-5;8\rangle$. Ich wartości łącznie pokrywają przedział $\langle-3;3\rangle$.

Miejsca zerowe otrzymujemy z pierwszej i ostatniej gałęzi: $x+2=0$ daje $x=-2$, a $-x+6=0$ daje $x=6$.

Liczba $\frac{\sqrt3}{2}$ należy do przedziału $\langle-1;1)$, więc jej wartość wynosi $1$. Ponadto $f(-3)=-3+2=-1$. Stąd $\sqrt3\,f\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)-f(-3)=\sqrt3+1.$

a) Uzupełniamy kwadrat: $x^2-2x+4=(x-1)^2+3>0.$

b) Dla $x<2$ zachodzi $2-\frac x2>2-1=1>0,$ a dla $x\ge2$ mamy $2x-1\ge3>0$.

c) $x^4+2x^2+1=(x^2+1)^2>0.$

W każdym przypadku wartość funkcji jest dodatnia dla każdego argumentu z dziedziny, więc nie może być równa zeru.

Porządkujemy pary według rosnącego argumentu.

a) Wartości zaczynają się od $6,3$, więc maleją: funkcja nie jest rosnąca.

b) Dla argumentów $1,2,3,4$ wartości wynoszą kolejno $5,6,8,9$, więc funkcja jest rosnąca.

c) Dla argumentów $1,2,3,4$ otrzymujemy $5,6,7,0$, zatem funkcja nie jest rosnąca.

d) Już dla $1<2$ mamy $f(1)=8>5=f(2)$, więc funkcja nie jest rosnąca.