MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 221

a) Odwrotność liczby $x$ miałaby wartość $\frac1x$. Dla $x=0$ nie jest ona określona, więc przyporządkowanie nie nadaje wartości każdemu elementowi podanej dziedziny i nie jest funkcją.

b) Każdemu $x\in\mathbb R$ przyporządkowujemy dokładnie jedną liczbę $-x$. Każda liczba rzeczywista jest wartością tej funkcji.

c) Przyporządkowanie ma postać $\sqrt{x-1}$. Dla $0\le x<1$ wyrażenie pod pierwiastkiem jest ujemne, więc w zbiorze liczb rzeczywistych nie otrzymujemy wartości. Nie jest to funkcja na całym podanym zbiorze.

d) Każda liczba naturalna jest parzysta albo nieparzysta, a zatem otrzymuje dokładnie jedną z dwóch wartości: $2$ albo $-1$.

Ze skanu odczytujemy przyporządkowania

a) Liczymy liczby pierwsze nie większe od argumentu: $f(1)=0,\qquad f(3)=2,\qquad f(8)=4.$ Liczby pierwsze nie większe od $25$ to $2,3,5,7,11,13,17,19,23$, więc $f(25)=9$.

b) Szóstą liczbą pierwszą jest $13$, a siódmą $17$. Dokładnie sześć liczb pierwszych nie przekracza zatem każdej z liczb $13,14,15,16$ i tylko tych czterech kolejnych argumentów.

Dla każdego całkowitego argumentu zaznaczamy izolowany pełny punkt $(k,-1)$. Poziom $y=1$ zawiera wszystkie pozostałe punkty prostej, lecz w każdym całkowitym argumencie ma punkt usunięty. Funkcja przyjmuje więc dokładnie dwie wartości i można ją zapisać przedziałami według rodzaju argumentu.

W każdym podpunkcie podstawiamy wskazany argument do właściwego wzoru.

a) $f(x+2)=3(x+2)-1=3x+5$.

b) $g(x-1)=(x-1)^2=x^2-2x+1$.

c) $f(g(x))=3x^2-1$.

d) $g(f(x))=(3x-1)^2=9x^2-6x+1$.

e) Ponieważ $g(g(x))=(x^2)^2=x^4$, mamy $f(g(g(x)))=3x^4-1$.

Dla $-1$ i $2$ używamy drugiej gałęzi, a dla $\sqrt5$ oraz $\sqrt3+1$ pierwszej, ponieważ oba ostatnie argumenty są większe od $2$.

a) $f(-1)=\frac1{-1-3}=-\frac14$.

b) $f(2)=\frac1{2-3}=-1$.

c) $f(\sqrt5)=-(\sqrt5)^2+\sqrt5=-5+\sqrt5$.

d) $f(\sqrt3+1)=-(\sqrt3+1)^2+\sqrt3+1=-3-\sqrt3.$