MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 220

Z punktu $A$ wyznaczamy $a=\frac{2\sqrt3}{3}\cdot\sqrt3=2.$ Punkt należy do wykresu dokładnie wtedy, gdy iloczyn jego współrzędnych jest równy $2$.

a) Iloczyn wynosi $3$: nie. b) Iloczyn wynosi $2$: tak. c) Iloczyn wynosi $2$: tak.

Z przynależności punktu $A$ wynika $pk=8$. Sprawdzamy iloczyny współrzędnych punktu $B$:

a) $(2p)(0{,}5k)=pk=8$: tak. b) $(10p)(0{,}1k)=pk=8$: tak.

c) $(4p)(2k)=8pk=64$: nie. d) $k\cdot2p=2pk=16$: nie.

Mamy $xy=9$.

a) $(x-1)(y-1)=9-x-y+1$ nie jest stałe: nie.

b) $(2x)(2y)=4xy=36$: tak, współczynnik $36$.

c) $x^2y^2=(xy)^2=81$: tak, współczynnik $81$.

d) $\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{xy}=3$: tak, współczynnik $3$.

Dla $x>0$ można mnożyć nierówności przez dodatnie $x$ bez zmiany znaku.

a) $\frac2x<0{,}1\iff x>20$.

b) $\frac2x>10\iff0<x<\frac15$.

c) $\frac2x\le4\iff x\ge\frac12$.

d) $1<\frac2x<4$ daje jednocześnie $x<2$ i $x>\frac12$.

Odcięta ma być dodatnia, czyli zawsze $x>0$.

a) Warunek opisuje krzywą $y=\frac1x$.

b) Zaznaczamy zbiór $y>\frac1x$, czyli obszar nad hiperbolą, bez jej brzegu.

c) Zaznaczamy zbiór $y<\frac1x$, czyli obszar pod hiperbolą, bez jej brzegu; obejmuje on także punkty pod osią $OX$.

Funkcja $r(x)=\frac1x$ jest malejąca dla $x>0$. Większy dodatni argument ma więc mniejszą odwrotność.

a) $0{,}959>0{,}958$, więc $0{,}959^{-1}<0{,}958^{-1}$.

b) $5{,}34<5{,}35$, więc $5{,}34^{-1}>5{,}35^{-1}$.

c) $\sqrt{2{,}13}<\sqrt{2{,}14}$, więc po odwróceniu znak nierówności zmienia kierunek.

Funkcje mają wzory $f(x)=\frac8x$ i $g(x)=\frac{12}{x}$. Zatem $h(x)=f(x)+g(x)=\frac8x+\frac{12}{x}=\frac{20}{x}.$ Jest to proporcjonalność odwrotna o współczynniku $20$ w tej samej dziedzinie $x>0$.

Początkowo cukru jest $0{,}05$ kg. Po dolaniu jest go $0{,}05+\frac p{100}t$ kg, a cały roztwór waży $1+t$ kg. Warunek stężenia $6\%$ daje $0{,}05+\frac p{100}t=0{,}06(1+t).$ Po pomnożeniu przez $100$: $5+pt=6+6t\iff(p-6)t=1\iff t=\frac1{p-6}.$

a) Iloczyn $pt=\frac p{p-6}$ nie jest stały, więc $p,t$ nie są odwrotnie proporcjonalne.

b) Iloczyn $(p-6)t=1$ jest stały, więc $p-6,t$ są odwrotnie proporcjonalne.

Dla stałej liczby butelek czas jest odwrotnie proporcjonalny do wydajności. Po awarii wydajność stanowi $80\%=0{,}8$ dawnej wydajności, więc nowy czas stanowi $\frac1{0{,}8}=1{,}25$ dawnego czasu. Wzrost wynosi zatem $0{,}25=25\%$.