MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 219

Dla dodatniego całkowitego $x$ druga współrzędna jest całkowita dokładnie wtedy, gdy $x$ jest dodatnim dzielnikiem licznika współczynnika.

a) $12$ ma $6$ dodatnich dzielników. b) $75=3\cdot5^2$ ma $6$. c) $100=2^2\cdot5^2$ ma $9$. d) Równość $xy=\frac72$ nie może zachodzić dla całkowitych $x,y$, więc nie ma takiego punktu.

a) Ze wzoru $s=vt$: przy stałym $s$ wielkości $v,t$ są odwrotnie proporcjonalne; przy stałym $t$ — $s,v$ wprost; przy stałym $v$ — $s,t$ wprost.

b) Ze wzoru $u=\frac lm$: przy stałym $l$ — $u,m$ odwrotnie; przy stałym $m$ — $u,l$ wprost; przy stałym $u$ — $l,m$ wprost.

c) Ze wzoru $y=\frac p{100}x$: przy stałym $y$ — $p,x$ odwrotnie; przy stałym $x$ — $p,y$ wprost; przy stałym $p$ — $x,y$ wprost.

Długość trasy wynosi $s=60\cdot3\frac13=60\cdot\frac{10}{3}=200\ \text{km}.$ Igor jechał $\frac23$ h krócej, czyli $\frac83$ h, zatem jego prędkość to $200:\frac83=75$ km/h. Tomek jechał $80$ km/h, więc potrzebował $200:80=2{,}5$ h.

Niech nad projektem pracuje $n$ osób. Cała kwota to $360n$. Po zmniejszeniu zespołu o $3$ wynagrodzenie jednej osoby wzrosłoby do $1{,}25\cdot360=450$ zł, więc $360n=450(n-3).$ Stąd $90n=1350$, czyli $n=15$, a wartość projektu to $15\cdot360=5400$ zł.

Pojemność basenu to $45\cdot60\cdot2=5400\ \text{l}.$ Opróżnianie trwa $75\cdot60=4500$ s, więc wydajność pompy wynosi $\frac{5400}{4500}=1{,}2\ \text{l/s}.$

Rzeczywista długość szlaku to $36$ km, czyli $3\,600\,000$ cm. W skali $1:s$ długość na mapie jest $s$ razy mniejsza: $d=\frac{3\,600\,000}{s}.$ Zatem $sd=3\,600\,000$, więc $s$ i $d$ są odwrotnie proporcjonalne ze współczynnikiem $3\,600\,000$.

Punkt $(x,y)$ wyznacza współczynnik $a=xy$.

a) $a=\frac14\cdot2=\frac12$. b) $a=18\cdot\frac23=12$.

c) $a=3\sqrt2\cdot2\sqrt3=6\sqrt6$. d) $a=(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)=1$.

Podstawiamy współrzędne punktu do $y=\frac4x$, pamiętając o $x>0$.

a) $k=4/(1/3)=12$. b) $2=4/k$, więc $k=2$.

c) $k=4/k$, czyli $k^2=4$; warunek dodatniej odciętej pozostawia $k=2$.

d) $k^2+1=4/2=2$, zatem $k^2=1$ i $k=\pm1$.