MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 22

Dla części nieokresowej pomijamy jej cyfry, a numer dalszej cyfry dzielimy przez długość okresu. Reszta wskazuje pozycję w okresie (reszta $0$ oznacza jego ostatnią cyfrę).

a) Okres $4567$ ma długość $4$. Reszty z dzielenia $13$ i $100$ przez $4$ wynoszą odpowiednio $1$ i $0$.

b) Po cyfrze $5$ pozostaje odpowiednio $12$ i $99$ miejsc; modulo $4$ otrzymujemy $0$ i $3$.

c) Po trzech cyfrach $937$ pozostaje $10$ i $97$ miejsc; obie liczby dają resztę $1$ modulo $3$.

d) Po dwóch cyfrach $01$ pozostaje $11$ i $98$ miejsc; modulo $7$ są to pozycje $4$ i $0$ okresu.

a) $\frac56=0,8(3)$. Po pierwszej cyfrze okres ma długość $1$, więc cyfrą na każdym dalszym miejscu jest $3$.

b) $\frac6{13}=0,(461538)$. Ponieważ $2020=336\cdot6+4$, wybieramy czwartą cyfrę okresu.

c) $\frac{19}{27}=0,(703)$. Ponieważ $2020=673\cdot3+1$, wybieramy pierwszą cyfrę okresu.

d) $\frac1{2^{2020}}=\frac{5^{2020}}{10^{2020}}$. Jest to rozwinięcie skończone z ostatnią niezerową cyfrą $5$ dokładnie na miejscu $2020$.

Dzieląc licznik przez mianownik, otrzymujemy:

a) $\frac19=0,(1)$, $\frac39=0,(3)$, $\frac89=0,(8)$;

b) $\frac1{99}=0,(01)$, $\frac{31}{99}=0,(31)$, $\frac{54}{99}=0,(54)$;

c) $\frac1{999}=0,(001)$, $\frac{112}{999}=0,(112)$, $\frac{605}{999}=0,(605)$.

Mianownik złożony z $k$ dziewiątek pozwala zapisać licznik jako powtarzający się blok $k$ cyfr, uzupełniony z lewej zerami.

Rozwinięcia skończone zamieniamy na ułamki o mianowniku będącym potęgą $10$. Dla okresu długości $k$ używamy mianownika złożonego z $k$ dziewiątek; przy części nieokresowej dopisujemy odpowiednią liczbę zer.

a) $0,6=\frac6{10}$, $0,45=\frac{45}{100}$, $0,06=\frac6{100}$, $0,4375=\frac{4375}{10000}$; po skróceniu otrzymujemy podane niżej ułamki.

b) $0,(d)=\frac d9$.

c) $2,(3)=2+\frac39$, $3,(71)=3+\frac{71}{99}$, $-5,(24)=-\left(5+\frac{24}{99}\right)$, a $6,00(4)=6+\frac4{900}$.

Rozpisujemy pierwsze cyfry:

$1,(321)=1,321321\ldots$, $1,3(213)=1,321321\ldots$, $\frac{440}{333}=1,321321\ldots$ i $1,32(132)=1,321321\ldots$.

Te cztery zapisy oznaczają tę samą liczbę. Liczba $1,321$ ma rozwinięcie skończone, więc jest od nich różna.

Porównujemy kolejne cyfry rozwinięć; w punktach e) i f) wystarczy porównać kwadraty dodatnich wartości.

a) $12,(32)=12,323232\ldots$, a $12,(323)=12,323323\ldots$, więc pierwsza różnica daje znak $<$.

b) $3,431000\ldots<3,431431\ldots$.

c) $2\frac19=2,(1)$.

d) $-\frac5{11}=-0,(45)>-0,(46)$.

e) $\left(\frac74\right)^2=\frac{49}{16}>3$, zatem $\frac74>\sqrt3$.

f) $\left(\frac43\right)^2=\frac{16}{9}<2$, więc $\frac43<\sqrt2$ i po zmianie znaków $-\frac43>-\sqrt2$.

Stosujemy regułę z ramki.

a) $0,(81)=\frac{81}{99}=\frac9{11}$.

b) $0,32(005)=\frac{32005-32}{99900}=\frac{31973}{99900}$.

c) $2,1(301)=\frac{21301-21}{9990}=\frac{2128}{999}=2\frac{130}{999}$.