MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 218

Długości boków muszą mieć iloczyn $180$. Przykładowo: $1\cdot180=2\cdot90=3\cdot60=4\cdot45=5\cdot36=180.$

Punkt $P(\frac32,4)$ spełnia równanie wykresu, zatem $4=\frac{a}{3/2}\iff a=4\cdot\frac32=6.$ Wykres to malejąca gałąź hiperboli $y=\frac6x$ w pierwszej ćwiartce, np. przez punkty $(1,6),(2,3),(3,2),(6,1)$.

Iloczyny odpowiadających wartości są stałe: $6\cdot10=4\cdot15=3\cdot20=1\cdot60=60.$ Jest to więc proporcjonalność odwrotna o współczynniku $60$.

Współczynnik proporcjonalności wyznaczony z punktu $A$ to $a=16\cdot625=10\,000.$ Sprawdzamy iloczyny: dla $B$ jest $1250\cdot8=10\,000$, dla $C$ jest $\frac25\cdot25\,000=10\,000$, a dla $D$ tylko $3000\cdot\frac13=1000$.

Dla proporcjonalności $y=\frac ax$ wartość $a$ odczytujemy jako iloczyn współrzędnych dowolnego punktu. Ze skanu, np. na prostej $x=1$, krzywe mają wartości odpowiednio $2,4,6$. Stąd $f(x)=\frac2x,\qquad g(x)=\frac4x,\qquad h(x)=\frac6x,$ dla $x>0$.

a) Przesunięcie o $2$ w prawo daje $g(x)=f(x-2)=\frac7{x-4}$, z asymptotą $x=4$, więc nie jest to $\frac ax$.

b) Po przesunięciu o $6$ w górę: $g(x)=\frac9x-6+6=\frac9x$ — tak.

c) Ponieważ $f(x)=5+\frac2x$, przesunięcie o $5$ w dół daje $g(x)=\frac2x$ — tak.

Długości są dodatnie.

a) Z pola prostokąta $xy=10$ otrzymujemy $y=\frac{10}{x}$ dla $x>0$.

b) Pole rombu spełnia $\frac{xy}{2}=4$, więc $xy=8$ i $y=\frac8x$ dla $x>0$. Oba wykresy są malejącymi gałęziami hiperbol w pierwszej ćwiartce.