MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 216

a) $g(x)=f(|x|)=||x|-2|-1,$ $h(x)=g(x-2)=||x-2|-2|-1.$ Tymczasem $p(x)=f(|x|-1)=||x|-3|-1$. Na przykład $h(0)=-1$, a $p(0)=2$, więc wykresy nie są takie same.

b) $g(x)=f(x-2)=|x-4|-1,$ $h(x)=g(|x|)=||x|-4|-1.$ Ponownie $p(x)=||x|-3|-1$; tutaj $h(0)=3\ne2=p(0)$.

Korzystamy ze wzoru $f(t)=|t+1|-2$.

a) $g(x)=||x|-1|$. Równanie $g=1$ daje $|x|=0$ lub $2$: trzy rozwiązania.

b) $g(x)=|3-|x||$. Warunek $g=1$ daje $|x|=2$ lub $4$: cztery rozwiązania.

c) $g(x)=|x|-1$. Stąd $|x|=2$: dwa rozwiązania.

d) $g(x)=|2-|x||-2$. Z $g=1$ mamy $|2-|x||=3$, więc $|x|=5$: dwa rozwiązania.

Odbicie wykresu funkcji $f$ względem pionowej prostej $x=4$ zastępuje argument $x$ przez $2\cdot4-x=8-x$. Zatem $g(x)=f(8-x)=\frac1{8-x+1}=\frac1{9-x}=-\frac1{x-9},\qquad x\ne9.$

Niech $q(x)=|(x+1)^2-4|$. Miejsca zerowe $g=q+p$ spełniają $q=-p$, więc $p\le0$. Dla $-4<p<0$ poziom $-p$ przecina wykres $q$ cztery razy.

Pierwiastki mają postać $x=-1\pm\sqrt{4-p'}\quad\text{i}\quad x=-1\pm\sqrt{4+p'},\qquad p'=-p\in(0,4).$ Zewnętrzna para daje po jednym pierwiastku każdego znaku. Wewnętrzny prawy pierwiastek jest dodatni dla $p'<3$, równy zero dla $p'=3$ i ujemny dla $p'>3$.

Miejsca zerowe funkcji $f$ spełniają $|4-|x||=m.$ Dla $m<0$ nie ma rozwiązań. Dla $m=0$ są dwa: $x=\pm4$. Dla $0<m<4$ równania $|x|=4-m$ i $|x|=4+m$ dają łącznie cztery rozwiązania. Dla $m=4$ otrzymujemy $x=0,\pm8$, czyli trzy. Dla $m>4$ pozostaje $x=\pm(4+m)$, czyli dwa.

Zatem $g(m)$ jest funkcją schodkową o wartościach $0,2,4,3,2$ w wymienionych kolejno zakresach.

Proste $y=-x$ i $y=x+2$ przecinają się dla $x=-1$, na wysokości $1$. Dla $x<-1$ mniejsza jest wartość $x+2$, a dla $x>-1$ wartość $-x$. Otrzymujemy odwróconą literę V: $f(x)=1-|x+1|.$ Jest to żądana postać dla $a=-1$, $b=1$, $c=1$, $d=1$.