MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 215

Funkcje są parzyste, więc wystarczy przeanalizować zmianę wraz z odległością od zera.

a) Maleje na $(-\infty;-2\rangle$ i $\langle0;2\rangle$, rośnie na $\langle-2;0\rangle$ i $\langle2;\infty)$.

b) Maleje na $(-\infty;-1\rangle$ i $\langle0;1\rangle$, rośnie na $\langle-1;0\rangle$ i $\langle1;\infty)$.

c), d) Wyrażenie $|x|+c$ rośnie wraz z $|x|$, zatem obie funkcje maleją na $(-\infty;0\rangle$ i rosną na $\langle0;\infty)$.

a) $g(x)=|x^2-4|$. Ponieważ $|x|^2=x^2$, mamy $h(x)=x^2-4=f(x)$.

b) Funkcja $f$ jest nieujemna, więc $g(x)=(x-4)^2$. Po zastąpieniu argumentu przez $|x|$ dostajemy $h(x)=(|x|-4)^2$.

c) $g(x)=||x|-3|$. Funkcja $f$ jest parzysta, zatem $h(x)=f(|x|)=|x|-3$.

a) Dziedzina to $\mathbb R\setminus\{-2,2\}$. Funkcja jest parzysta, ma asymptoty pionowe $x=\pm2$, poziomą $y=1$ i zera $x=\pm3$.

b) Dziedzina i asymptoty są takie same jak w a); ujemne części tamtego wykresu odbijamy nad $OX$. Zera pozostają w $x=\pm3$.

c) Wartość pod modułem jest zawsze większa od $1$, więc moduł niczego nie zmienia: $f(x)=1+\frac1{|2-x|},\qquad x\ne2.$ Wykres jest symetryczny względem $x=2$, ma asymptoty $x=2$ i $y=1$ oraz nie ma miejsc zerowych.

Dla $x\le0$ równanie $x-2=1$ daje $x=3$, co nie spełnia warunku gałęzi. Dla $x>0$ mamy $|x+3|=x+3$, więc $|4-|x+3||=|1-x|=1.$ Stąd $x=0$ lub $x=2$, lecz warunek $x>0$ pozostawia tylko $x=2$.

a) $f(x)=x^2+2|x|+1=(|x|+1)^2.$ Równanie $(|x|+1)^2=1$ daje $|x|=0$, czyli jedno rozwiązanie $x=0$.

b) $f(x)=x^2-2|x|+1=(|x|-1)^2.$ Z $(|x|-1)^2=1$ otrzymujemy $|x|=0$ lub $|x|=2$, czyli $x=-2,0,2$: trzy rozwiązania.

Miejsca zerowe spełniają $|x+1|=-m$, więc aby były dwa, musi być $m<0$. Oznaczmy $r=-m>0$. Pierwiastki to $x_1=-1-r,qquad x_2=-1+r.$ Pierwszy jest zawsze ujemny, a drugi jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy $r>1$, czyli $-m>1$.

Niech $u=(x+2)^2\ge0$. Równanie ma postać $|u-4|=m$.

• dla $m<0$ nie ma rozwiązań;
• dla $m=0$ mamy $u=4$, czyli dwa rozwiązania;
• dla $0<m<4$ liczby $4-m$ i $4+m$ są dodatnie, każda daje dwa rozwiązania: razem cztery;
• dla $m=4$ wartości $u=0,8$ dają odpowiednio jedno i dwa rozwiązania: razem trzy;
• dla $m>4$ pozostaje $u=4+m$, czyli dwa rozwiązania.

Po wzięciu modułu analizujemy przecięcia poziomu $m$ z kolejnymi gałęziami. Na $x\le-2$ funkcja $g$ jest stale równa $1$; w części środkowej powstają dwa sąsiednie wykresy w kształcie litery V, a dla $x\ge3$ mamy $g(x)=|5-x|$.

Zliczenie przecięć daje: $0$ dla $m<0$; $3$ dla $m=0$; $6$ dla $0<m<1$; nieskończenie wiele dla $m=1$ (cała półprosta $x\le-2$); $3$ dla $1<m<2$; $2$ dla $m=2$; $1$ dla $m>2$.

Dla $r=|x|\ge0$ otrzymujemy $h(x)=\begin{cases}|r-1|&0\le r<3,\\5-r&r\ge3.\end{cases}$ Każde rozwiązanie $r>0$ daje dwa argumenty $x=\pm r$, natomiast $r=0$ daje jeden.

Zliczamy: po $2$ rozwiązania dla $m<0$ oraz $m=2$; $4$ dla $m=0$ i $1<m<2$; $6$ dla $0<m<1$; $5$ dla $m=1$; $0$ dla $m>2$.