MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 214

Wartość bezwzględna jest nieujemna.

a) $|2x-5|\ge0$, a minimum $0$ występuje dla $x=\frac52$. Po dodaniu $1$ otrzymujemy wartości od $1$ wzwyż.

b) $-|4x+1|\le0$, a maksimum $0$ występuje dla $x=-\frac14$. Po dodaniu $1$ otrzymujemy wszystkie wartości nie większe niż $1$.

a) Część prostej $y=x-3$ leżącą pod osią $OX$ odbijamy do góry. Otrzymujemy $g(x)=|x-3|$, z wierzchołkiem $(3,0)$.

b) Wykres z a) przesuwamy o $1$ w dół, po czym jego ujemny fragment odbijamy nad $OX$. Funkcja $||x-3|-1|$ ma zera $2,4$ i punkt $(3,1)$.

c) Najpierw tworzymy $3-|x-3|$, a następnie odbijamy jego ujemne części. Zera są w $x=0,6$, a środkowy wierzchołek to $(3,3)$.

a) Dla $|x|\le\sqrt2$ mamy $f(x)=2-x^2$, a poza tym $f(x)=x^2-2$. Zera: $\pm\sqrt2$.

b) Dziedzina: $x\ne0$. Dla $0<x\le2$ mamy $f(x)=\frac4x-2$, a dla $x<0$ lub $x\ge2$: $f(x)=2-\frac4x$. Asymptoty: $x=0$, $y=2$; zero: $x=2$.

c) Dziedzina: $x\ne-3$. Na $(-3;-\frac{11}{4}\rangle$ funkcja ma wzór $\frac1{x+3}-4$, a poza tym $4-\frac1{x+3}$. Asymptoty: $x=-3$, $y=4$; zero: $-\frac{11}{4}$.

d) Wykres $\frac1{|x|}+2$ jest parzysty, ma asymptoty $x=0$, $y=2$ i zbiór wartości $(2;\infty)$.

e) Wykres $3-\frac1{|x|}$ jest parzysty, ma asymptoty $x=0$, $y=3$, zera $\pm\frac13$ i zbiór wartości $(-\infty;3)$.

f) Wykres $-2+\frac1{|x-1|}$ jest symetryczny względem $x=1$, ma asymptoty $x=1$, $y=-2$ i zera $\frac12,\frac32$.

Ze skanu odczytujemy wierzchołki łamanej $(-6,2),(-4,2),(-1,-4),(3,4),(6,-2).$ Jej miejsca zerowe to $-3,1,5$. Funkcja $g=|f|$ ma te same zera, natomiast $h(x)=f(|x|)$ powiela prawą część wykresu symetrycznie względem $OY$.

a) $g=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $f=0$.

b) Dla $h=0$ bierzemy nieujemne zera $f$, czyli $1,5$, i oba znaki argumentu.

c) Poziom $|f|=2$ obejmuje cały poziomy odcinek oraz pojedyncze przecięcia.

Pozostałe równości odczytujemy, porównując prawą część $f$ z jej odbiciem.

Ze skanu odczytujemy $f(x)=\begin{cases}-1&x\le0,\\x-1&0<x<2,\\1&x\ge2.\end{cases}$

a) $|f(x)|$ ma wartość $1$ poza $(0;2)$, a na tym przedziale jest równa $|x-1|$.

b) $f(|x|)=|x|-1$ dla $|x|<2$ i $1$ dla $|x|\ge2$.

c) $|f(|x|)|=||x|-1|$ dla $|x|<2$ i $1$ dla $|x|\ge2$.

d) Ponieważ $-|x|\le0$, zawsze korzystamy z lewej gałęzi: $f(-|x|)=-1$.

Wartość bezwzględna na zewnątrz nie zmienia miejsc zerowych. Przy zastąpieniu argumentu przez $|x|$ można wykorzystać tylko nieujemne miejsca zerowe funkcji $f$, czyli $1$ i $7$, a każde z nich daje dwa argumenty o przeciwnych znakach.

Miejsca zerowe wyznaczamy, zerując wyrażenie pod zewnętrzną wartością bezwzględną.

a) $|x|=4$, więc $x=\pm4$: dwa miejsca zerowe.

b) $|4-x|=4$, więc $x=0$ lub $x=8$: dwa miejsca zerowe.

c) $|4-|x||=4$. Z równań $4-|x|=4$ i $4-|x|=-4$ dostajemy $x=0$ oraz $x=\pm8$: trzy miejsca zerowe.