MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 213

a) Warunek $f(x)=f(-x)$ oznacza parzystość. Dorysowujemy więc lustrzane odbicie podanego fragmentu względem osi $OY$.

b) Warunek $f(-x)=-f(x)$ oznacza nieparzystość. Każdy punkt $(x,y)$ uzupełniamy punktem $(-x,-y)$, czyli obracamy fragment o $180^\circ$ wokół początku układu. Punkt $(0,0)$ pozostaje na miejscu.

Podstawiamy $f(t)=t^2$.

a) $g(x)=4-(-x)^2=4-x^2$. Wierzchołek: $(0,4)$, miejsca zerowe: $-2,2$.

b) $g(x)=1-(x+3)^2$. Wierzchołek: $(-3,1)$, miejsca zerowe: $-4,-2$.

c) $g(x)=4-(2-x)^2=4-(x-2)^2$. Wierzchołek: $(2,4)$, miejsca zerowe: $0,4$.

Najpierw wyznaczamy $g(x)=-f(-x)+2=\begin{cases}2x+4&x<0,\\-x+4&x\ge0.\end{cases}$

a) Dla $x<0$ nierówność ma postać $-x-2>2x+4$, czyli $x<-2$. Dla $x>0$ otrzymujemy $2x-2>-x+4$, czyli $x>2$; dla $x=0$ nierówność nie zachodzi.

b) Funkcja $f$ ma znaki: dodatni na $(-\infty;-2)\cup(1;\infty)$ i ujemny na $(-2;1)$. Funkcja $g$ jest ujemna na $(-\infty;-2)\cup(4;\infty)$ i dodatnia na $(-2;4)$. Iloczyn jest ujemny tam, gdzie znaki są przeciwne.

Punkt wspólny przy argumencie $x$ spełnia $f(x)=f(-x)+p,\qquad p=f(x)-f(-x).$ Wspólna dziedzina obu funkcji to $\{-3,-2,-1,1,2,3\}$. Kolejne różnice wynoszą:

$$\begin{array}{c|rrrrrr} x&-3&-2&-1&1&2&3\\ \hline f(x)-f(-x)&3&-3&3&-3&3&-3 \end{array}$$

Największa liczba punktów wspólnych wynosi więc trzy, zarówno dla $p=3$, jak i dla $p=-3$.

a) Musi być $-1\le x\le1$. Po podniesieniu stron do kwadratu: $1-x=(1+x)^2\iff x(x+3)=0.$ Warunki spełnia tylko $x=0$.

b) Przenosimy $1$ i dwukrotnie podnosimy do kwadratu; po uwzględnieniu warunku $x\le-2$ dostajemy $x(x+3)=0$, zatem $x=-3$.

c) Obie strony są określone dla $x\in\langle-3;-1\rangle$. Równość podpierwiastkowych daje $-1-x=x+3$, więc $x=-2$.

d) Niech $t=\sqrt{x}\ge0$. Wtedy $t^4=2-t\iff(t-1)(t^3+t^2+t+2)=0.$ Drugi czynnik jest dodatni, więc $t=1$ i $x=1$.