MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 212

Wartość $f(x)$ jest przebytą częścią trasy długości $30$ km. Dlatego $g(x)=30-f(x)$ jest częścią trasy, która po czasie $x$ pozostała do przejścia. Wykres otrzymujemy przez odbicie wykresu $f$ względem $OX$ i przesunięcie o $30$ w górę. Ze skanu widać między innymi, że zaczyna się on w $(0,30)$, a kończy w $(7,0)$; podczas postoju turysty pozostaje poziomy.

Przekształcamy wzór docelowy: $g(x)=4x-x^2=4-(x-2)^2.$ Trzeba zatem uzyskać minus przed kwadratem, przesunąć parabolę o $2$ w prawo i o $4$ w górę. Symetria $C$ musi nastąpić przed przesunięciem pionowym $A$, natomiast przesunięcie poziome $B$ można wykonać w dowolnym miejscu. Daje to trzy kolejności: $B\to C\to A,\qquad C\to B\to A,\qquad C\to A\to B.$

a) Odbicie wykresu $f$ względem $OY$ ma wzór $f(-x)$. Liczymy $f(-x)=\frac{-x-2}{-x+2}=\frac{x+2}{x-2}=g(x),$ a dziedzina po odbiciu wyklucza $x=2$, tak jak dziedzina $g$.

b) Odbicie względem $OX$ ma wzór $-f(x)$, a $-f(x)=-\frac{x-2}{x+2}=\frac{2-x}{x+2}=g(x).$ Równości wzorów i odpowiadających im dziedzin dowodzą obu symetrii.

Z definicji $h(x)=g(-x)=f(-x+2)=f(2-x).$ Stąd, po podstawieniu $x=2-t$, otrzymujemy $f(t)=h(2-t)$. Wykres $f$ jest więc obrazem wykresu $h$ w symetrii względem pionowej prostej $x=1$.

Porównanie odpowiadających sobie wierzchołków pokazuje zależność $g(x)=f(2-x).$ Można ją uzyskać na dwa sposoby:

1. odbić wykres $f$ względem osi $OY$, a potem przesunąć go o $2$ w prawo;
2. przesunąć wykres $f$ o $2$ w lewo, a potem odbić go względem osi $OY$.