MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 211

Po przesunięciu wykresu o wektor $[-2,-1]$ otrzymujemy funkcję $h(x)=f(x+2)-1=(x+2)^2-(x+2)-1=x^2+3x+1.$

a) Symetria względem osi $OY$ zastępuje argument przez przeciwny: $g(x)=h(-x)=x^2-3x+1.$

b) Przy odwrotnej kolejności najpierw mamy $h(x)=f(-x)=x^2+x,$ a po przesunięciu $g(x)=h(x+2)-1=(x+2)^2+(x+2)-1=x^2+5x+5.$

Ze skanu odczytujemy wierzchołki łamanej $f$: $(-6,2),\ (-4,-1),\ (2,0),\ (4,3),\ (6,0).$ We wzorze $g(x)=-f(x-2)+3$ przesuwamy wykres o $2$ w prawo, odbijamy względem $OX$ i przesuwamy o $3$ w górę. Wierzchołki przechodzą więc kolejno w $(-4,1),\ (-2,4),\ (4,3),\ (6,0),\ (8,3).$ Stąd $a=0$, $b=-2$, $c=6$. Ponadto punkt $x=0$ odpowiada argumentowi $-2$ funkcji $f$; na odpowiednim odcinku $f(-2)=-\frac23$, więc $g(0)=3-f(-2)=\frac{11}{3}.$ Zatem $W=0\cdot\frac{11}{3}+\frac{-2-4}{6}=-1.$

Skan potwierdza, że ostatnia gałąź ma dziedzinę $\langle2;6\rangle$ (w Markdownzie omyłkowo wpisano początek $-2$). Odbicie względem $OX$ daje $g(t)=-f(t)$, więc badamy $f(x)+f(x+m)=0,$ przy $x,x+m\in\langle-6;6\rangle$.

Rozpatrzenie odcinków wyznaczonych przez załamania $-6,-2,0,2,6$ pokazuje, że dla zwykłego przesunięcia równanie ma najwyżej trzy pojedyncze rozwiązania. Więcej rozwiązań pojawia się dokładnie wtedy, gdy całe odcinki wykresów pokrywają się. Zachodzi to dla przesunięć $m=-8,-4,4,8.$ Przykładowo dla $m=4$ równość zachodzi na odcinkach $\langle-6;-4\rangle$ i $\langle0;2\rangle$; pozostałe trzy wartości otrzymujemy analogicznie.

Dla $x\ne0$ zmiana argumentu na przeciwny zmienia znak funkcji signum, czyli $\operatorname{sgn}(-x)=-\operatorname{sgn}(x)$; w zerze obie strony są równe $0$.

a) i b) opisują tę samą funkcję: $f(x)=\begin{cases}1&x<0,\\0&x=0,\\-1&x>0.\end{cases}$

c) Podwójna zmiana znaku daje $-\operatorname{sgn}(-x)=\operatorname{sgn}(x)=\begin{cases}-1&x<0,\\0&x=0,\\1&x>0.\end{cases}$