MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 206

Funkcja $3/(x+1)-1$ jest malejąca na każdej gałęzi. Porównujemy wartości w końcach przedziałów; gdy koniec jest otwarty lub przedział nieograniczony, odpowiednia wartość graniczna nie jest przyjmowana.

Równania odczytujemy jako przecięcia wykresu z odpowiednimi prostymi poziomymi. Z rysunku otrzymujemy kolejno jedną, dwie, trzy i dwie odcięte.

Oba wyrażenia muszą być określone. W a) mamy $x\in[-3;3]$; porównujemy na wykresie wartości w punktach odległych od $x$ o $1$ i równanie zachodzi dla $x=0$ oraz $x=2$. W b) mamy $x\in[-2;2]$. Dla $x\in[1;2]$ argument $x+2$ leży na prawej gałęzi, a $x-2$ na odcinku od $(-1,4)$ do $(0,2)$; ich wartości różnią się stale o $-4$. Na pozostałej części dziedziny różnica jest inna.

Punkty wspólne spełniają $|x|=|x-p|+2$, czyli $|x|-|x-p|=2$. Lewa strona przyjmuje wartości od $-|p|$ do $|p|$. Gdy $|p|<2$, równość jest niemożliwa. Gdy $|p|=2$, odpowiednie półproste obu wykresów pokrywają się. Gdy $|p|>2$, na odcinku między wierzchołkami różnica zmienia się ściśle monotonicznie i wartość $2$ jest osiągana raz.

Liczba rozwiązań to liczba przecięć wykresów $f$ i poziomej prostej $y=p$. Z rysunku poziom $2$ jest styczny w jednym punkcie, wyższe przecinają dwie gałęzie, a niższe nie przecinają wykresu.