MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 201

Obraz punktu otrzymujemy, dodając współrzędne wektora. W c) z $-\vec u=[-3,0]$ wynika $\vec u=[3,0]$.

a) $(2+3,4-1)=(5,3)$. b) $(-3-5,-1+2)=(-8,1)$. c) $(-7+3,1)=(-4,1)$. d) $(a-a,-b+b)=(0,0)$.

Ponieważ $A'=A+\vec u$, mamy $A=A'-\vec u$.

a) $(-1,9)-[-2,4]=(1,5)$. b) $(5,-2)-[3,-7]=(2,5)$. c) $(-3,-4)-[-1,-5]=(-2,1)$. d) $(-a,-b)-[a,b]=(-2a,-2b)$.

Korzystamy ze wzoru $\overrightarrow{AB}=[x_B-x_A,y_B-y_A]$ (w c) analogicznie dla $\overrightarrow{BA}$) i porównujemy współrzędne.

a) $4-6a=-8$ oraz $-2b-3=-9$, więc $a=2,b=3$. b) Pierwsza współrzędna daje $4-a-b=a+4$, a druga $a-b-3=-3b$; stąd $a=-1,b=2$. c) Układ $-a+4b=3b$, $-2a-4b=-6a$ sprowadza się w obu równaniach do $a=b$.

W każdej kolumnie stosujemy $\overrightarrow{AB}=B-A$. Otrzymujemy kolejno: $[3,-1]$; z $4-x_A=6$ mamy $x_A=-2$, a druga współrzędna wektora to $7-(-5)=12$; z $B-A=[-3,-\frac12]$ mamy $A=(1,\frac32)$; z $B=(-6,\sqrt2)+[6,-\sqrt2]$ mamy $B=(0,0)$; w ostatniej kolumnie $B=(p+r,q+s)$.

Liczymy wektory między kolejnymi punktami: $\overrightarrow{AB}=[3,\frac92]=\vec u$, $\overrightarrow{BC}=[\frac{25}4,-5]=\vec v$, $\overrightarrow{CD}=[-3,-\frac92]=-\vec u$ i $\overrightarrow{DA}=[-\frac{25}4,5]=-\vec v$. Wektory o przeciwnym zwrocie powstają też po zamianie początku z końcem.

Po przesunięciach wierzchołki wynoszą odpowiednio $(11,3),(-1,7),(3,-1)$ oraz $(7,6),(-5,10),(-1,2)$. Część wspólna trzech trójkątów jest trójkątem o wierzchołkach $(5,5),(-1,7),(1,3)$. Ze wzoru Gaussa: $P=\frac12|5\cdot7+(-1)\cdot3+1\cdot5-(5\cdot(-1)+7\cdot1+3\cdot5)|=10.$

Wektor przesunięcia to $\overrightarrow{ED}=[1-(-2),4-2]=[3,2]$. Po przesunięciu wyznaczamy przecięcia krawędzi obu pięciokątów. Część wspólna jest czworokątem o wierzchołkach $(2,1),(4,1),(6,3),(1,4)$. Wzór Gaussa daje $P=\frac12|(2+12+24+1)-(4+6+3+8)|=9.$

Z $\overrightarrow{AB}=B-A$ mamy $A=B-\overrightarrow{AB}=(2,-3)-[5,-5]=(-3,2)$. Dalej $C=B+\overrightarrow{BC}=(3,1)$. W równoległoboku $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, więc $D=A+[1,4]=(-2,6)$.