MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 200

Wektor zaczepiony w początku układu kończy się w punkcie, którego współrzędne są równe współrzędnym wektora. Rysujemy więc strzałki od $O(0,0)$ kolejno do punktów

$A(3,3),\quad B(2,0),\quad C(0,-3),\quad D(-2,-4).$

Możemy wybrać początek każdego wektora w punkcie $O(0,0)$. Wtedy jego koniec otrzymujemy przez dodanie podanych współrzędnych. Przykładowe strzałki biegną więc:

• od $(0,0)$ do $(3,0)$,
• od $(0,0)$ do $(-4,0)$,
• od $(0,0)$ do $(0,-5)$,
• od $(0,0)$ do $(0,6)$.

Każde równoległe przesunięcie takiej strzałki przedstawia ten sam wektor.

Współrzędne wektora obliczamy jako zmiana pozioma i pionowa od początku strzałki do jej grotu. Ze skanu odczytujemy:

$\vec a=[3,2],\quad \vec b=[0,4],\quad \vec c=[0,-1],\quad \vec d=[5,3],$ $\vec e=[-3,0],\quad \vec f=[3,0],\quad \vec g=[-4,1],\quad \vec h=[3,-4].$

Znaki współrzędnych wynikają z kierunku grotów: w lewo daje składową ujemną, a w dół ujemną składową pionową.

Stosujemy wzór

$\overrightarrow{AB}=[x_B-x_A,y_B-y_A].$

a) $[-1-2,-1-(-1)]=[-3,0]$.

b) $[-a-a,-b-b]=[-2a,-2b]$.

c) $[-p-(-p),-q-q]=[0,-2q]$.

Wszystkie strzałki mają początek w punkcie $A$. Zliczając kratki od $A$ do każdego grotu, otrzymujemy

$\overrightarrow{AB}=[1,-4],\quad \overrightarrow{AC}=[2,-1],\quad \overrightarrow{AD}=[4,0],$ $\overrightarrow{AE}=[4,2],\quad \overrightarrow{AF}=[5,5],\quad \overrightarrow{AG}=[-1,4],$ $\overrightarrow{AH}=[-2,1],\quad \overrightarrow{AI}=[-6,0],\quad \overrightarrow{AJ}=[-4,-2],\quad \overrightarrow{AK}=[-4,-6].$

Wektory przeciwne mają obie współrzędne o przeciwnych znakach. Takie pary to $AB$ i $AG$, $AC$ i $AH$ oraz $AE$ i $AJ$.

Korzystamy z zależności $B=A+\overrightarrow{AB}$ i dodajemy współrzędne.

a) $B=(-4,1)+[-3,-1]=(-7,0)$.

b) $B=(2,-3)+[1,8]=(3,5)$.

c) $B=(-1,1)+[-5,7]=(-6,8)$.

d) $B=(4,-2)+[3,-3]=(7,-5)$.

Z równania $B=A+\overrightarrow{AB}$ mamy $A=B-\overrightarrow{AB}$.

a) $A=(5,4)-[-7,1]=(12,3)$.

b) $A=(1,-4)-[1,-3]=(0,-1)$.

c) $A=(-9,2)-[-4,-2]=(-5,4)$.

d) $A=(-4,2)-[-1,-6]=(-3,8)$.

Do obu końców odcinka dodajemy współrzędne wektora przesunięcia.

a) $A_1=(-4,-2)+[5,-1]=(1,-3)$, $B_1=(-1,3)+[5,-1]=(4,2)$.

b) $A_1=(3,-1)+[-4,-2]=(-1,-3)$, $B_1=(5,4)+[-4,-2]=(1,2)$.

c) $A_1=(-3,1)+[0,3]=(-3,4)$, $B_1=(1,-2)+[0,3]=(1,1)$.

d) $A_1=(5,-1)+[-4,0]=(1,-1)$, $B_1=(3,4)+[-4,0]=(-1,4)$.