MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 199

Miejsca zerowe pierwotnej funkcji to:

• $x=-5$ z gałęzi $x+5$,
• $x=-1$ i $x=1$ z gałęzi $x^2-1$.

Ich średnia wynosi

$\frac{-5-1+1}{3}=-\frac53.$

Po przesunięciu wykresu o $m$ jednostek w prawo każde zero zwiększa się o $m$, więc także średnia zwiększa się o $m$. Z warunku

$-\frac53+m=5$

otrzymujemy $m=\frac{20}{3}$.

Korzystamy ze wzoru $f(t)=t^2$.

a) $f(x+1)=f(x-3)\iff(x+1)^2=(x-3)^2.$

Po odjęciu stronami otrzymujemy $8(x-1)=0$, więc $x=1$.

b) $f(x-2)=f(x)-4\iff(x-2)^2=x^2-4.$

Stąd $-4x+4=-4$, czyli $x=2$.

W każdym podpunkcie wprowadzamy nową zmienną równą argumentowi funkcji.

a) Dla $t=x+2$ mamy $x=t-2$, zatem

$f(t)=5+t-2=t+3,$

czyli $f(x)=x+3$.

b) Dla $t=x-1$ jest $x=t+1$, więc

$f(t)=2-(t+1)=1-t,$

czyli $f(x)=1-x$.

c) Dla $t=2x-1$ mamy $2x=t+1$, stąd

$f(t)=t+1-5=t-4,$

czyli $f(x)=x-4$.

a) Aby po lewej stronie otrzymać $f(3)$, przyjmujemy $x-1=3$, czyli $x=4$. Wtedy

$f(3)=20-4=16.$

b) Przyjmujemy $x+2=-2$, czyli $x=-4$. Zatem

$f(-2)=-4+4=0.$

Punkty przecięcia odpowiednich wykresów wyznaczamy z równań.

a) $x-1=(x-3)^2\iff x^2-7x+10=0\iff(x-2)(x-5)=0.$

b) $-x^2+4=(x-2)^2\iff-2x^2+4x=0\iff-2x(x-2)=0.$

c) $4-x^2=(x+2)^2\iff-2x^2-4x=0\iff-2x(x+2)=0.$

Przed podniesieniem do kwadratu uwzględniamy dziedzinę i znak obu stron.

a) Potrzeba $x\geq-4$ i $x\leq-2$. Po podniesieniu do kwadratu:

$(-2-x)^2=x+4\iff x^2+3x=0.$

Spośród $x=0,-3$ warunki spełnia tylko $x=-3$.

b) Warunki dają $0\leq x\leq2$. Równanie

$(2-x)^2=x\iff x^2-5x+4=0$

ma pierwiastki $1$ i $4$, z których dopuszczalny jest $1$.

c) Dla $x\geq1$ prawa strona jest nieujemna, a $1-x^2\leq0$. Równość jest możliwa tylko wtedy, gdy obie strony są zerem, czyli dla $x=1$.

a) Dziedzina daje $x\geq-2$, a z nierówności musi dodatkowo być $x<0$. W tym zakresie obie strony są nieujemne, więc

$\sqrt{x+2}<-x\iff x+2<x^2\iff(x-2)(x+1)>0.$

Po przecięciu z $\langle-2;0)$ otrzymujemy $\langle-2;-1)$.

b) $x-1>\frac2x\iff\frac{(x-2)(x+1)}x>0.$

Tabela znaków dla punktów $-1,0,2$ daje $(-1;0)\cup(2;\infty)$.

c) Obie strony są nieujemne, zatem można porównać kwadraty:

$(x-1)^2>(x+1)^2\iff-4x>0\iff x<0.$

Gałąź $x-3$ dla $x<3$ nie ma miejsca zerowego, ponieważ jej jedyny kandydat $x=3$ jest wyłączony. Gałąź $(x-a)^2$ ma zero w punkcie $x=a$, o ile $a\geq3$. Stąd brak miejsc zerowych dokładnie dla $a<3$.

Na pierwszej gałęzi funkcja jest rosnąca. Dla $a\leq3$ także parabola na półprostej $x\geq3$ jest rosnąca, a wartość w punkcie $3$ nie jest mniejsza od wartości z lewej strony, więc cała funkcja jest rosnąca. Dla $a>3$ parabola najpierw maleje na $\langle3;a\rangle$, a potem rośnie, zatem funkcja nie jest monotoniczna.

Dla ustalonego $x$ nierówność modułową zapisujemy jako

$-(4-x)<x-a<4-x.$

Lewa nierówność daje $a<4$, a prawa $2x<a+4$, czyli

$x<\frac{a+4}{2}.$

Jeśli $a<4$, można wybrać liczbę ujemną mniejszą od $(a+4)/2$, więc istnieje ujemne rozwiązanie. Dla $a\geq4$ pierwszy z warunków nie zachodzi dla żadnego $x$.