MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 20

a) Niech bok kwadratu ma długość $a$. Dla $a=\frac1{\sqrt2}$ pole wynosi $\frac12$, a przekątna $1$, więc może być wymierna. Dla $a=1$ pole wynosi $1$, a przekątna $\sqrt2$, więc może być niewymierna.

b) Niech bok trójkąta ma długość $a$. Dla $a=\frac2{\sqrt3}$ obwód $2\sqrt3$ jest niewymierny, a wysokość

$\frac{a\sqrt3}{2}=1$

jest wymierna. Dla $a=\sqrt2$ obwód jest niewymierny, a wysokość $\frac{\sqrt6}{2}$ – niewymierna.

c) Niech bok sześcianu ma długość $a>0$, a jego wymierna objętość niech wynosi $a^3$. Przekątna ma długość $d=a\sqrt3$. Gdyby $d$ było wymierne, to

$a^3=\left(\frac d{\sqrt3}\right)^3=\frac{d^3}{3\sqrt3}$

byłoby niewymierne, co jest sprzeczne z założeniem. Przekątna nie może więc być wymierna; jest zawsze niewymierna.

Zaczynamy od $x_1=\frac32$. Jeżeli aktualne przybliżenie ma postać $\frac mn$, to następne jest równe $\frac{m+2n}{m+n}$. Otrzymujemy kolejno:

$$x_2=\frac{3+2\cdot2}{3+2}=\frac75,$$ $$x_3=\frac{7+2\cdot5}{7+5}=\frac{17}{12},$$ $$x_4=\frac{17+2\cdot12}{17+12}=\frac{41}{29},$$ $$x_5=\frac{41+2\cdot29}{41+29}=\frac{99}{70},$$ $$x_6=\frac{99+2\cdot70}{99+70}=\frac{239}{169}.$$

a) Wybierzmy $x=\frac{\sqrt3}{2}$. Ponieważ

$0{,}8^2<\frac34<0{,}9^2,$

to $0{,}8<x<0{,}9$.

b) Wybierzmy $x=\frac{\sqrt{23}}5$. Po pomnożeniu granic przez $5$ i podniesieniu dodatnich liczb do kwadratu mamy

$4{,}75^2<23<4{,}8^2,$

więc $0{,}95<x<0{,}96$. Obie wybrane liczby są niewymierne.

Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem. Stąd

$x^2\in\{1,2,3,4\},$

czyli

$x\in\{-2,-\sqrt3,-\sqrt2,-1,1,\sqrt2,\sqrt3,2\}.$

Spośród tych liczb niewymierne są tylko liczby zawierające $\sqrt2$ lub $\sqrt3$.

a) Przypuśćmy przeciwnie, że $a=2\sqrt3+\sqrt2$ jest wymierne. Liczba $a$ jest dodatnia, więc $a\ne0$. Z równości $a-2\sqrt3=\sqrt2$ po podniesieniu stron do kwadratu otrzymujemy

$a^2-4a\sqrt3+12=2,$

$\sqrt3=\frac{a^2+10}{4a}.$

Prawa strona byłaby wymierna, co przeczy niewymierności $\sqrt3$.

b) Przypuśćmy przeciwnie, że $b=\sqrt3-\sqrt2$ jest wymierne. Mamy $b>0$, więc $b\ne0$. Z równości $b+\sqrt2=\sqrt3$ po podniesieniu stron do kwadratu dostajemy

$b^2+2b\sqrt2+2=3,$

$\sqrt2=\frac{1-b^2}{2b}.$

Prawa strona byłaby wymierna, co daje sprzeczność. W obu podpunktach założenie o wymierności prowadzi więc do sprzeczności.

Niech $x>0$ będzie liczbą niewymierną. Przypuśćmy przeciwnie, że $\sqrt{x}$ jest liczbą wymierną $q$. Wtedy

$x=q^2$

byłoby liczbą wymierną jako kwadrat liczby wymiernej. Jest to sprzeczne z założeniem, więc $\sqrt{x}$ musi być niewymierne.