MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 19

Cecha liczby to największa liczba całkowita, która jej nie przekracza.

a) Liczby $253$ i $-125$ są całkowite. Ponadto $-3<-2\frac23<-2$ oraz $100<100\frac23<101$.

b) Ponieważ $11^2<123<12^2$, mamy $[\sqrt{123}]=11$. Dalej $18^2<355<19^2$, więc $23<5+\sqrt{355}<24$. Ponieważ $0<\sqrt7-\sqrt5<1$, zachodzi $9<10+\sqrt5-\sqrt7<10$.

c) Korzystamy z przybliżeń $\frac{\sqrt2}{2}\approx0{,}707$, $2\pi\approx6{,}283$ oraz $\sqrt3\approx1{,}732$.

Dla każdej liczby całkowitej $n$ warunek $[x]=n$ jest równoważny nierówności

$n\le x<n+1.$

Podstawiamy kolejno $n=1,-1,12,-15$.

a) Równość $[x]=x$ zachodzi dokładnie wtedy, gdy $x$ jest liczbą całkowitą.

b) Liczba $[x+3]$ jest całkowita. Z równości $[x+3]=1-x$ wynika więc, że $x$ także jest całkowite. Wtedy $[x+3]=x+3$, zatem

$x+3=1-x,$

skąd $x=-1$. Sprawdzenie: $[-1+3]=2=1-(-1)$.

c) Skoro $[x]=\frac{x}{4}$ jest całkowite, to $x$ jest wielokrotnością $4$, a więc jest całkowite i $[x]=x$. Stąd $x=\frac{x}{4}$, czyli $x=0$.

Ogólny składnik sumy dla $n=2,3,\ldots,100$ ma postać

$$\left[\frac{n+\sqrt n}{n}\right] =\left[1+\frac1{\sqrt n}\right].$$

Dla $n\ge2$ zachodzi $0<\frac1{\sqrt n}<1$, więc każdy składnik jest równy $1$. Liczb od $2$ do $100$ jest

$100-2+1=99.$

Niech długość krawędzi wynosi $a>0$, gdzie $a$ jest wymierne. Zgodnie z układem wierzchołków na skanie przyjmijmy

$$A=(0,0,0),\quad B=(a,0,0),\quad D=(0,a,0).$$

Wtedy środki wskazanych krawędzi mają współrzędne

$$Q=\left(0,\frac a2,0\right), \qquad P=\left(\frac a2,a,a\right).$$

Z twierdzenia Pitagorasa w przestrzeni:

$$|BP|=a\sqrt{\frac14+1+1}=\frac{3a}{2},$$ $$|BQ|=a\sqrt{1+\frac14}=\frac{a\sqrt5}{2}, \qquad |PQ|=a\sqrt{\frac14+\frac14+1}=\frac{a\sqrt6}{2}.$$

Pierwsza długość jest wymierna, a dwie pozostałe są niewymierne.

Sześciokąt ma

$\binom62-6=9$

przekątnych. Sześć krótszych przekątnych łączy wierzchołki oddalone o jeden wierzchołek i ma długość $\sqrt3$, a trzy przekątne łączące wierzchołki przeciwległe mają długość $2$. Niewymierną długość ma zatem $6$ z $9$ przekątnych.

a) Wybierzmy $x=y=\sqrt2$ oraz $z=-2\sqrt2$. Każda z tych liczb jest niewymierna, a

$x+y=2\sqrt2,\qquad y+z=-\sqrt2,\qquad z+x=-\sqrt2$

są niewymierne. Jednocześnie $x+y+z=0$.

b) Wybierzmy $x=y=z=\sqrt2$. Każda suma dwóch liczb jest równa $2\sqrt2$, a suma wszystkich trzech wynosi $3\sqrt2$; wszystkie te sumy są niewymierne.

a) Wybierzmy $R=\frac1{\sqrt\pi}$. Wtedy

$s=4\pi\left(\frac1{\sqrt\pi}\right)^2=4.$

b) Wybierzmy $R=\sqrt[3]{\frac1\pi}$. Wtedy

$V=\frac43\pi\left(\sqrt[3]{\frac1\pi}\right)^3=\frac43.$

Liczb trzycyfrowych jest

$999-100+1=900.$

Jeżeli pierwiastek sześcienny z liczby całkowitej jest wymierny, to jest całkowity, więc dana liczba musi być sześcianem liczby całkowitej. Trzycyfrowe sześciany to

$5^3,\ 6^3,\ 7^3,\ 8^3,\ 9^3,$

czyli pięć liczb. Pozostałe $900-5=895$ liczb mają niewymierny pierwiastek sześcienny.