MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 198

Dla $x<-4$ funkcja $-16/x$ przyjmuje wartości z przedziału $(0;4)$. Część paraboliczna $(x+2)^2$, $x\geq-4$, ma wierzchołek $(-2,0)$.

• Dla $a=0$ poziom $y=a$ styka parabolę tylko w wierzchołku.
• Dla $0<a<4$ są dwa przecięcia z parabolą i jedno z hiperbolą.
• Dla $a=4$ są dwa przecięcia z parabolą, a hiperbola wartości $4$ nie osiąga.
• Dla $a>4$ lewy pierwiastek równania $(x+2)^2=a$ wypada poniżej $-4$, pozostaje więc jedno przecięcie z parabolą.

Dla $a<0$ przecięć nie ma.

Dla gałęzi parabolicznej $x^2-4$, $x<3$, prosta $y=a$ daje dwa przecięcia dla $-4<a<5$. Dla $a=5$ dodatni pierwiastek $x=3$ jest wyłączony, więc pozostaje tylko punkt $x=-3$.

Gałąź $5/(x-2)$ dla $x\geq3$ przyjmuje każdą wartość z $(0;5\rangle$ dokładnie raz. Trzy przecięcia występują zatem wtedy, gdy część paraboliczna daje dwa punkty, a hiperboliczna jeden:

$0<a<5.$

Ze skanu odczytujemy, że funkcja $f$ osiąga maksimum dla argumentu $3$, a minimum dla argumentów $-6$ i $5$.

a) Funkcja $g(x)=f(x-4)$ jest przesunięta o $4$ w prawo. Argument maksimum to $3+4=7$, a argumenty minimum to $-6+4=-2$ oraz $5+4=9$.

b) Funkcja $h(x)=f(x+5)$ jest przesunięta o $5$ w lewo, więc maksimum osiąga dla $x=3-5=-2$. Funkcja $k(x)=f(x+7)$ osiąga minima dla $x=-6-7=-13$ oraz $x=5-7=-2$. Dla argumentu $-2$ rzeczywiście zachodzą oba opisane zdarzenia.

Prosta $f$ ma przecięcia z osiami $(0,4)$ i $(6,0)$. Po przesunięciu w prawo o $1$ otrzymujemy

$g(x)=f(x-1)=-\frac23x+\frac{14}{3},$

o przecięciach $(0,14/3)$ i $(7,0)$. Pole $F_1$ jest różnicą pól odpowiednich trójkątów:

$P_{F_1}=\frac12\cdot7\cdot\frac{14}{3}-\frac12\cdot6\cdot4=\frac{13}{3}.$

Po przesunięciu o $2$ w lewo:

$h(x)=f(x+2)=-\frac23x+\frac83,$

z przecięciami $(0,8/3)$ i $(4,0)$. Zatem

$P_{F_2}=\frac12\cdot6\cdot4-\frac12\cdot4\cdot\frac83=\frac{20}{3}.$

Różnica pól wynosi $\frac{20}{3}-\frac{13}{3}=\frac73$.

a) Punkt $(0,4)$ należy do wykresu, gdy

$g(0)=m^2=4,$

zatem $m=-2$ lub $m=2$.

b) Punkt $(3,0)$ należy do wykresu, gdy

$g(3)=(3-m)^2=0,$

czyli $m=3$.

Wprowadzamy $t=x+m$. Wówczas równanie przyjmuje postać

$f(t)=-\frac12t+\frac m2+6.$

Po przeniesieniu składnika liniowego szukamy przecięć poziomu

$b=\frac m2+6$

z łamaną $d(t)=f(t)+\frac12t$. Wartości $d$ w kolejnych wierzchołkach $A,\ldots,G$ wynoszą

$-3,\ 1,\ -\frac32,\ 1,\ -\frac12,\ \frac72,\ 1.$

Zliczając przecięcia poziomu $b$ z sześcioma odcinkami (wierzchołek wspólny dwóch odcinków liczymy raz), dokładnie cztery przecięcia występują dla

$b=-\frac12\quad\text{lub}\quad b=1.$

Równania $\frac m2+6=-\frac12$ i $\frac m2+6=1$ dają odpowiednio $m=-13$ i $m=-10$.