MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 197

W każdym podpunkcie zapisujemy $g$ za pomocą funkcji $f$ z przesuniętym argumentem.

a) $g(x)=|2(x+1)|=f(x+1)$, więc wykres przesuwamy o $1$ w lewo.

b) $g(x)=\left|\frac12(x-3)\right|=f(x-3)$, więc wykres przesuwamy o $3$ w prawo.

c) $g(x)=|3(x-2)|=f(x-2)$, więc wykres przesuwamy o $2$ w prawo.

d) $g(x)=-|3(x+3)|=f(x+3)$, więc wykres przesuwamy o $3$ w lewo. Wierzchołek każdego wykresu przesuwa się o tę samą wartość.

Wykres $f$ jest odcinkiem o końcach $(1,5)$ i $(5,-3)$. Funkcja $g(x)=f(x-5)$ przesuwa go o wektor $[5,0]$, a dodanie $3$ przesuwa następnie o $[0,3]$. Zatem wykres $h$ jest odcinkiem o końcach $(6,8)$ i $(10,0)$.

Otrzymany czworokąt jest równoległobokiem. Wektor jednego boku wynosi

$[5-1,-3-5]=[4,-8],$

a wektor łączący odpowiadające końce obu odcinków to $[5,3]$. Pole jest modułem wyznacznika:

$P=|4\cdot3-(-8)\cdot5|=52.$

Przyjmujemy $n\in\{0,1,\ldots,19\}$. Wykresy mają punkt wspólny dla tych argumentów, które należą do obu dziedzin i dla których reszty są równe.

a) Argument $n-5$ jest dopuszczalny dla $n=5,\ldots,19$. Odjęcie $5$ nie zmienia reszty modulo $5$, więc wspólnych jest $15$ punktów.

b) Dla $n=4,\ldots,19$ reszty liczb $n$ i $n-4$ różnią się o $1$ modulo $5$, więc punktów wspólnych nie ma.

c) Argument $n+10<20$ dla $n=0,\ldots,9$. Dodanie $10$ nie zmienia reszty, więc są $10$ punktów.

d) Argument $n+15<20$ dla $n=0,\ldots,4$. Dodanie $15$ nie zmienia reszty, więc jest $5$ punktów.

Ze skanu odczytujemy wierzchołki wykresu $f$:

$(-4,0),\ (-2,4),\ (2,-4),\ (5,2),\ (7,2).$

a) Równanie ma postać $f(x)=f(x-2)$. Porównanie odpowiednich liniowych fragmentów na wspólnej dziedzinie $\langle-2;7\rangle$ daje kolejno punkty przecięcia $x=-1$, $x=3$ i $x=7$.

b) Oba wyrażenia są określone dla $x\in\langle0;5\rangle$. Na $\langle0;2\rangle$ różnica $f(x+2)-f(x-4)$ jest ujemna. Na $\langle2;3\rangle$ osiąga zero dopiero dla $x=3$, a na $\langle3;5\rangle$ jest nieujemna. Stąd rozwiązaniem jest cały przedział $\langle3;5\rangle$.

Aby funkcja $-2|x|$ przyjmowała dokładnie wartości z $\langle-4;0\rangle$, jej dziedziną jest $\langle-2;2\rangle$. Dziedzina funkcji $g$ ma być równa temu zbiorowi wartości, czyli $\langle-4;0\rangle$.

Przedział $\langle-2;2\rangle$ trzeba więc przesunąć o $2$ jednostki w lewo. Zastępujemy argument $x$ przez $x+2$:

$g(x)=f(x+2)=-2|x+2|.$

Punkt $A(9,4)$ leży na wykresie $g$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$f(9+m)=4.$

Oznaczmy $t=9+m$. Na zewnętrznych gałęziach $|t|=4$, co daje $t=-4$ lub $t=4$; obie wartości należą do właściwych części dziedziny. Na środkowej gałęzi

$2t+2=4,$

więc $t=1$, również dopuszczalne. Z zależności $m=t-9$ otrzymujemy trzy wartości parametru.

Mamy

$f(x)=2x,\quad g(x)=-\frac23x,$ $k(x)=2(x+4)=2x+8,\quad m(x)=-\frac23(x-12)=-\frac23x+8.$

Przecięcia prostych z dwóch rodzin równoległych są punktami

$A(0,0),\quad B(3,6),\quad C(0,8),\quad D(-3,2).$

Przekątna $AC$ ma długość $8$. Dla drugiej przekątnej

$|BD|=\sqrt{(3-(-3))^2+(6-2)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.$

Ponieważ $52>49$, także $|BD|>7$.