MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 196

Porównujemy odpowiadające sobie argumenty i wartości w tabelach.

W tabeli $g$ argumenty są takie same jak dla $f$, a każda wartość jest mniejsza o $4$, więc

$g(x)=f(x)-4.$

W tabeli $h$ te same wartości występują dla argumentów większych o $3$, zatem

$h(x)=f(x-3).$

W tabeli $k$ wartość odpowiadająca argumentowi $u$ funkcji $f$ pojawia się dla argumentu $u-4$, więc

$k(x)=f(x+4).$

Miejsce zerowe funkcji $f$ spełnia

$\frac35x+2=0,$

czyli wynosi $-\frac{10}{3}$. Po przesunięciu ma ono wynosić $33\frac13=\frac{100}{3}$. Różnica położeń jest równa

$\frac{100}{3}-\left(-\frac{10}{3}\right)=\frac{110}{3}=36\frac23.$

Funkcja $g(x)=f(x-3)$ jest przesunięciem wykresu $f$ o $3$ w prawo. Ze skanu wierzchołki $(-5,-4)$, $(-2,2)$, $(2,-2)$, $(4,-2)$, $(7,1)$ przechodzą odpowiednio w

$(-2,-4),(1,2),(5,-2),(7,-2),(10,1).$

Stąd $D_g=\langle-2;10\rangle$.

Dla nierówności $-2<g(x)<2$ odczytujemy części łamanej leżące między poziomami $-2$ i $2$:

$x\in(-1;1)\cup(1;5)\cup(7;10\rangle.$

Porównując każdy liniowy fragment z prostą $y=x-5$, otrzymujemy spełnienie nierówności $g(x)>x-5$ od lewego końca dziedziny do punktu przecięcia $x=4$, bez tego punktu.

Podstawiamy $t=x+1$. Ponieważ pytanie dotyczy rozwiązań całkowitych, zliczamy tylko całkowite wartości $x=t-1$.

a) $f(t)=0$ daje $t=0$, więc istnieje jedno rozwiązanie całkowite.

b) $f(t)=1$ daje $t=-1$ oraz $t=1$, czyli dwa rozwiązania całkowite.

c) $f(t)=4$: z pierwszej gałęzi dostajemy $t=-2$, z drugiej $t=2$, a stała trzecia gałąź daje całkowite $t=4,5,6,7,8$. Razem jest siedem rozwiązań.

d) Równanie $f(t)=5$ daje na dwóch pierwszych gałęziach $t=-\sqrt5$ i $t=\frac52$, a na trzeciej nie ma rozwiązań. Żadna z tych wartości nie prowadzi do całkowitego $x$.

Wykres $f(x)=\frac3x$ jest hiperbolą z asymptotami $x=0$ i $y=0$.

a) $g(x)=f(x+1)$: przesunięcie o $1$ w lewo, asymptoty $x=-1$ i $y=0$.

b) $g(x)=f(x)+2$: przesunięcie o $2$ w górę, asymptoty $x=0$ i $y=2$.

c) $g(x)=f(x-3)$: przesunięcie o $3$ w prawo, asymptoty $x=3$ i $y=0$.

d) $g(x)=f(x)-1$: przesunięcie o $1$ w dół, asymptoty $x=0$ i $y=-1$.