MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 195

Dla funkcji $g(x)=f(x-6)$ sprawdzamy wartość $f$ w punkcie $x-6$.

• $A(4,4)$: $x-6=-2<0$ i $f(-2)=4$, więc $A$ należy do wykresu.
• $B(5,2)$: $f(-1)=1\ne2$, więc $B$ nie należy.
• $C\left(\frac{15}{2},1\right)$: $x-6=\frac32$ i $f\left(\frac32\right)=\frac23\cdot\frac32=1$, więc $C$ należy.
• $D(9,2)$: $x-6=3$ i $f(3)=2$, więc $D$ należy.

W punkcie $P(-1,4)$ warunek dla $h$ ma postać $f(m-1)=4$. Dla $m-1<0$ dostajemy $(m-1)^2=4$, skąd dopuszczalne $m=-1$. Dla $m-1\geq0$ mamy $\frac23(m-1)=4$, więc $m=7$.

Wykres $g$ ma punkt wspólny z osią $OY$ wtedy i tylko wtedy, gdy $g(0)$ jest określone. Ponieważ

$g(0)=f(m),$

parametr $m$ musi należeć do dziedziny funkcji $f$. Ze skanu odczytujemy dwie części dziedziny:

$D_f=\langle-5;1\rangle\cup\langle2;4\rangle.$

Kolejno podstawiamy wzory poprzednich funkcji:

$h(x)=g(x+9)=f(x+9-3)=f(x+6),$ $k(x)=h(x-4)=f(x+2),$ $l(x)=k(x+3)=f(x+5).$

Wykres $l$ jest więc wykresem $f$ przesuniętym o $5$ jednostek w lewo. Ze skanu można przenieść w ten sposób każdy wierzchołek łamanej; na przykład jej dziedzina $\langle-5;4\rangle$ przechodzi w $\langle-10;-1\rangle$.

Jeśli wykres $f$ przesuniemy o $t$ jednostek w prawo, to

$f(x-t)=2(x-t)-1=2x-2t-1.$

Porównujemy wyraz wolny z podanym wzorem $g$.

a) $-2t-1=3$, więc $t=-2$: przesunięcie o $2$ w lewo.

b) $-2t-1=-5$, więc $t=2$: o $2$ w prawo.

c) $-2t-1=0$, więc $t=-\frac12$: o $0{,}5$ w lewo.

d) $-2t-1=-7$, więc $t=3$: o $3$ w prawo.

Sprowadzamy wzór $g$ do postaci $f(x-t)$, gdzie dodatnie $t$ oznacza przesunięcie w prawo.

a) $g(x)=f(x+2)$, zatem przesunięcie wynosi $2$ w lewo.

b) $f(x+4)=\frac1{x+3}=g(x)$, więc przesuwamy o $4$ w lewo.

c) $f(x-7)=\sqrt{x-3}-3=g(x)$, więc przesuwamy o $7$ w prawo.

d) $f(x-5)=|x-2|+7=g(x)$, więc przesuwamy o $5$ w prawo.