MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 194

Wykres $y=\sqrt{x}$ zaczyna się w $(0,0)$ i przechodzi między innymi przez $(1,1)$, $(4,2)$ oraz $(9,3)$.

a) Odjęcie $4$ przesuwa wykres w dół: początek ma współrzędne $(0,-4)$, $D_g=\langle0;\infty)$, $g(D_g)=\langle-4;\infty)$.

b) Dodanie $3$ przesuwa wykres w górę: początek to $(0,3)$, $D_g=\langle0;\infty)$, $g(D_g)=\langle3;\infty)$.

c) Zastąpienie $x$ przez $x+3$ przesuwa wykres o $3$ w lewo: początek to $(-3,0)$, $D_g=\langle-3;\infty)$.

d) Zastąpienie $x$ przez $x-5$ przesuwa wykres o $5$ w prawo: początek to $(5,0)$, $D_g=\langle5;\infty)$.

Funkcja $g(x)=f(x-2)$ jest przesunięciem wykresu $f$ o $2$ w prawo, a $h(x)=f(x+3)$ — o $3$ w lewo. Tak samo przesuwają się dziedziny i miejsca zerowe.

a) Ze skanu: $D_f=\langle-4;5\rangle$, zera $-4$ i $2$. Zatem

$D_g=\langle-2;7\rangle,\quad Z_g=\{-2,4\},$ $D_h=\langle-7;2\rangle,\quad Z_h=\{-7,-1\}.$

b) Ze skanu: $D_f=\langle-4;6\rangle$, a zera to $-4,-2,0,2,4,6$. Stąd

$D_g=\langle-2;8\rangle,\quad Z_g=\{-2,0,2,4,6,8\},$ $D_h=\langle-7;3\rangle,\quad Z_h=\{-7,-5,-3,-1,1,3\}.$

c) Ze skanu: $D_f=\langle-2;5\rangle$, zera $-1,1,3,5$. Zatem

$D_g=\langle0;7\rangle,\quad Z_g=\{1,3,5,7\},$ $D_h=\langle-5;2\rangle,\quad Z_h=\{-4,-2,0,2\}.$

Przesunięcie wykresu o $3$ jednostki w lewo oznacza

$g(x)=f(x+3)=2(x+3)-4=2x+2.$

Dziedzina przesuwa się z $\langle-6;5\rangle$ na $\langle-9;2\rangle$, natomiast zbiór wartości nie zmienia się. Na końcach pierwotnej dziedziny funkcja $f$ ma wartości $-16$ i $6$, więc $g(D_g)=\langle-16;6\rangle$.

Miejsce zerowe spełnia $2x+2=0$, czyli $x=-1$. Dla $x=0$ otrzymujemy $g(0)=2$.

Funkcja $g(x)=f(x+6)$ powstaje przez przesunięcie wykresu $f$ o $6$ jednostek w lewo. Ze skanu odczytujemy, że $f$ rośnie kolejno na

$\langle-2;0\rangle,\quad\langle2;4\rangle,\quad\langle5;7\rangle,$

a maleje na

$\langle0;2\rangle,\quad\langle4;5\rangle.$

Od wszystkich końców przedziałów odejmujemy $6$.

Miejsce zerowe funkcji z przesuniętym argumentem otrzymujemy, żądając, aby argument funkcji $f$ był równy jednemu z jej zer.

a) $x-6\in\{-4,5\}$, więc $x\in\{2,11\}$.

b) $x+4\in\{-4,5\}$, więc $x\in\{-8,1\}$.

Po przesunięciu wykresu o $t$ jednostek w prawo wszystkie miejsca zerowe zwiększają się o $t$. Chcemy, aby jedno z liczb $-3+t$, $t$ lub $4+t$ było równe $3$.

Otrzymujemy kolejno

$t=6,\qquad t=3,\qquad t=-1.$

Ujemne $t=-1$ oznacza przesunięcie o jedną jednostkę w lewo.