MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 193

a) Przesunięcie o $4$ jednostki w lewo zmniejsza pierwszą współrzędną każdego punktu o $4$:

$C=(3-4,1)=(-1,1),\qquad D=(4-4,5)=(0,5).$

b) Aby punkt $B(-3,4)$ przeszedł w $D(2,4)$, przesunięcie w prawo musi wynosić $p=5$. Zatem

$C=(-2+5,1)=(3,1).$

Podstawiamy do wzoru funkcji $f$ argument $x-7$. Jednocześnie każdy przedział dziedziny przesuwa się o $7$ w prawo:

Dziedzina po przesunięciu to $\langle3;13\rangle$. Przesunięcie poziome nie zmienia zbioru wartości. Z trzech gałęzi tabeli dla $f$ otrzymujemy łącznie przedział $\langle-3;2\rangle$.

a) Punkty mają początkowo postać $(-2,y)$. Przesunięcie o $3$ jednostki wzdłuż osi $OX$ może być wykonane w lewo albo w prawo, więc otrzymujemy odpowiednio $(-5,y)$ albo $(1,y)$.

b) Wszystkie punkty o rzędnej $2$ tworzą prostą poziomą $y=2$. Dowolne przesunięcie tej całej prostej wzdłuż osi $OX$ nie zmienia zbioru jej punktów.

Z położenia wierzchołków na skanie odczytujemy przesunięcia.

a) Wykres $g$ przesunięto o $1$ w lewo, a $h$ o $1$ w prawo:

$g(x)=\frac12(x+1)^2,\quad D_g=\langle-5;3\rangle,$ $h(x)=\frac12(x-1)^2,\quad D_h=\langle-3;5\rangle.$

b) Przesunięcia wynoszą po $2$ jednostki:

$g(x)=|x+2|,\quad D_g=\langle-6;2\rangle,$ $h(x)=|x-2|,\quad D_h=\langle-2;6\rangle.$

c) Także tutaj $g$ jest przesunięciem o $2$ w lewo, a $h$ o $2$ w prawo:

$g(x)=-\frac12(x+2)^2+7,\quad D_g=\langle-6;2\rangle,$ $h(x)=-\frac12(x-2)^2+7,\quad D_h=\langle-2;6\rangle.$

Warunek istnienia $f$ nakładamy na jej argument.

a) $x-4\in D_f$, więc do obu przedziałów dodajemy $4$:

$D_g=\langle-2;3\rangle\cup\langle6;9\rangle.$

b) $x+6\in D_f$, więc odejmujemy $6$:

$D_g=\langle-12;-7\rangle\cup\langle-4;-1\rangle.$

c) $x-\frac12\in D_f$, więc dodajemy $\frac12$:

$D_g=\left\langle-\frac{11}{2};-\frac12\right\rangle\cup\left\langle\frac52;\frac{11}{2}\right\rangle.$

Szukamy rozwiązań równania

$|x-2|=|x+2|.$

Są to punkty jednakowo odległe od liczb $2$ i $-2$. Jedyną taką liczbą jest środek odcinka między nimi, czyli $x=0$. Wspólna wartość obu funkcji wynosi wtedy $2$.