MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 192

Rozwiązujemy równanie osobno na każdej gałęzi funkcji.

1. Dla $x<-1$: $-2-x=x+m\iff x=-\frac{m+2}{2},$ co spełnia warunek gałęzi dokładnie dla $m>0$.

2. Dla $-1\leq x\leq0$: $3x+2=x+m\iff x=\frac{m-2}{2},$ co jest dopuszczalne dla $0\leq m\leq2$.

3. Dla $x>0$: $2-x=x+m\iff x=1-\frac m2,$ co jest dodatnie dla $m<2$.

Dla $m=0$ i $m=2$ otrzymujemy po dwa rozwiązania, a dla $0<m<2$ po trzy. Poza tym przedziałem istnieje tylko jedno rozwiązanie.

Mamy $g(x)=f(x)-3$, więc

$f(x)g(x)>0\iff f(x)<0\quad\text{lub}\quad f(x)>3.$

Ze skanu odczytujemy wierzchołki łamanej $(-2,-2)$, $(0,2)$, $(4,-2)$ i $(7,4)$. Jej miejsca zerowe to $-1$, $2$ i $5$. Stąd

$f(x)<0\quad\text{dla}\quad x\in\langle-2;-1)\cup(2;5).$

Na ostatnim odcinku $f(x)=2x-10$, zatem $f(x)>3$ dla $x>\frac{13}{2}$; uwzględniamy prawy koniec dziedziny $x=7$.

Punkty przecięcia wykresów można wyznaczyć, sprowadzając każde równanie do postaci kwadratowej.

a) $x^2-x-2=(x-2)(x+1)=0$, więc $x=-1$ lub $x=2$.

b) $x^2+x-2=(x+2)(x-1)=0$, więc $x=-2$ lub $x=1$.

c) $x^2+x+5=0$ ma wyróżnik $\Delta=1-20=-19<0$, więc wykresy się nie przecinają.

d) $x^2-x-6=(x-3)(x+2)=0$, więc $x=-2$ lub $x=3$.

Równanie jest równoważne $f(x)-g(x)=6$.

Dla $x<0$ mamy $f(x)=-2x$ oraz $g(x)=2x-2$, zatem

$-2x-(2x-2)=6\iff x=-1.$

Dla $0\leq x<4$ jest $f(x)=0$ i $g(x)=-x-2$. Równanie daje $x=4$, lecz ten punkt nie należy do tej gałęzi.

Dla $x\geq4$ mamy $g(x)=2x-14$, więc

$0-(2x-14)=6\iff x=4,$

co jest już dopuszczalne.

Prosta $y=a$ przecina część paraboliczną $y=x^2-2$, $x<2$, dwukrotnie dla $-2<a<2$. Część hiperboliczna $y=4/x$, $x\geq2$, przyjmuje wartości z przedziału $(0;2\rangle$ i każdą z nich dokładnie raz.

Dokładnie trzy przecięcia powstają zatem wtedy, gdy parabola daje dwa punkty, a hiperbola jeden, czyli dla wspólnego zakresu

$0<a<2.$

Przekształcamy lewą stronę:

$\frac{1-x}{x}=\frac1x-1.$

Granice żądanego przedziału rozwiązania to $-1$ i $0$. Punkt $0$ jest asymptotą, a drugi punkt graniczny musi spełniać równość

$\frac{1-(-1)}{-1}=a,$

czyli $a=-2$. Sprawdzenie:

$\frac{1-x}{x}<-2\iff\frac{x+1}{x}<0,$

co zachodzi dokładnie dla $x\in(-1;0)$.

Podwójna nierówność jest równoważna

$|g(x)-f(x)|\leq p.$

Na przedziale $\langle-4;-2\rangle$ różnica ma postać $3{,}5x+9$ i przyjmuje na końcach wartości $-5$ i $2$. Na $(-2;2)$ różnica wynosi $x$, więc jej moduł jest mniejszy od $2$. Na $\langle2;4\rangle$ różnica ma postać $3{,}5x-9$ i przyjmuje na końcach wartości $-2$ i $5$.

Największy moduł różnicy na całej dziedzinie wynosi więc $5$.