MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 191

a) Funkcja $|x|+3$ ma w podanym przedziale najmniejszą wartość dla $x=0$, a największą dla $x=-4$:

$f(0)=3,\qquad f(-4)=7.$

b) Funkcja $\sqrt{x}-2$ jest rosnąca, więc na $\langle1;4\rangle$ wartości skrajne przyjmuje na końcach:

$f(1)=-1,\qquad f(4)=0.$

c) Wyrażenie $1-|x|$ jest największe dla $x=0$. Największą wartość $|x|$ w przedziale $\langle-1;2\rangle$ otrzymujemy dla $x=2$, zatem

$f(0)=1,\qquad f(2)=-1.$

d) Funkcja $4-\sqrt{x}$ jest malejąca. Stąd $f(0)=4$ i $f(1)=3$.

a) Parabola $-x^2+a$ ma największą wartość $a$, więc $a=2$.

b) Największą wartością funkcji $-a-x^2$ jest $-a$. Warunek $-a=-3$ daje $a=3$.

c) Funkcja $\sqrt{x}+a$ ma najmniejszą wartość $a$ dla $x=0$. Zatem $a=-4$.

d) Najmniejszą wartością $\sqrt{x}-a$ jest $-a$. Z równania $-a=1$ otrzymujemy $a=-1$.

Wykres $g(x)=x^2+m$ jest wykresem paraboli $y=x^2$ przesuniętym pionowo.

a) Punkt przecięcia z osią $OY$ ma współrzędne $(0,g(0))$. Ponieważ $g(0)=m$, warunek $A(0,-2)$ daje $m=-2$.

b) Dla punktów $B$ i $C$ musi zachodzić

$g(-3)=g(3)=9+m=0,$

zatem $m=-9$.

Miejsca zerowe funkcji $g$ spełniają $f(x)=-a$.

Na gałęzi $x\leq1$ rozwiązujemy $x^2=-a$. Liczba dopuszczalnych pierwiastków wynosi:

• zero dla $a>0$,
• jeden dla $a=0$,
• dwa dla $-1\leq a<0$,
• jeden dla $a<-1$ (dodatni pierwiastek jest wtedy większy od $1$).

Na gałęzi $x>1$ mamy $g(x)=-2+a$. Dla $a=2$ cała ta półprosta składa się z miejsc zerowych, a dla $a\ne2$ nie daje ona żadnego miejsca zerowego. Łącząc oba przypadki, otrzymujemy żądany podział wartości parametru.

Równanie

$g(x)+p=f(x)$

jest równoważne $p=f(x)-g(x)$. Ze skanu odczytujemy wykres różnicy obu łamanych: na krańcach i w środkowym minimum przyjmuje ona wartość $1$, a w dwóch maksimach wartość $5$. Każdy poziom między $1$ i $5$ przecina cztery odcinki.

Dlatego dla $p=1$ są trzy rozwiązania, dla $1<p<5$ cztery, a dla $p=5$ dwa. Poza przedziałem $\langle1;5\rangle$ rozwiązań nie ma.

Przesunięcie o $2m$ zmienia zbiór wartości na

$g(D)=\langle-2+2m;4+2m\rangle.$

Funkcja nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy cały ten przedział leży powyżej zera albo poniżej zera:

$-2+2m>0\quad\text{lub}\quad4+2m<0.$

Stąd odpowiednio $m>1$ lub $m<-2$.