MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 190

Funkcja $g(x)=|x|+a$ ma najmniejszą wartość $a$, osiąganą dla $x=0$.

a) Z warunku minimum $4$ dostajemy $a=4$.

b) Warunek $g(\pm3)=0$ daje $3+a=0$, więc $a=-3$.

c) Zbiór wartości ma postać $\langle a;\infty)$, zatem $a=5$.

Dziedzina nie zmienia się przy przesunięciu pionowym i wynosi $\langle-4;4\rangle$. Na tej dziedzinie funkcja $f(x)=2|x|$ ma zbiór wartości $\langle0;8\rangle$. Po przesunięciu o $c$ zbiór wartości funkcji $g$ jest równy $\langle c;c+8\rangle$.

Warunek $\langle c;c+8\rangle=\langle-4;4\rangle$ daje $c=-4$.

Punkty załamania leżą dla $x=-4$ i $x=2$, więc ich środek ma odciętą $-1$. Obie wartości krańcowe są równe $2$, a środkowa gałąź także przechodzi przez $(-1,2)$. Odbicie o $180^\circ$ wokół tego punktu zamienia skrajne gałęzie miejscami, zatem środek symetrii wykresu to $S=(-1,2)$.

Po pionowym przesunięciu o $p$ środek ma współrzędne $(-1,2+p)$. Ma leżeć na prostej $y=x$, więc

$2+p=-1,$

stąd $p=-3$.

Parabola $g(x)=4x^2+p$ jest ujemna dokładnie między swoimi miejscami zerowymi. Skoro zbiorem rozwiązań jest $(-4;4)$, miejscami zerowymi muszą być $-4$ i $4$. Podstawiając $x=4$, dostajemy

$4\cdot4^2+p=0,$

czyli $64+p=0$ i $p=-64$.

Rozpisujemy funkcję $f$:

\end{cases}$$ Równanie jest równoważne zależności $$f(x)-2x=2p-3.$$ Dla każdego $x\geq0$ lewa strona wynosi $0$. Aby równanie miało więcej niż jedno rozwiązanie, musi więc być $2p-3=0$, czyli $p=\frac32$. Wtedy każdy $x\geq0$ jest rozwiązaniem. Dla $x<0$ równanie $-2x=0$ nie ma rozwiązania w tym przedziale.

Mamy $g(x)=-x^2+2$. Parabola osiąga maksimum $2$ dla $x=0$ i maleje, gdy rośnie $|x|$.

a) W $(-1;3\rangle$ największa wartość to $g(0)=2$, a najmniejsza $g(3)=-7$.

b) W $\langle-3;\infty)$ maksimum to $g(0)=2$. Funkcja dąży do $-\infty$, więc minimum nie istnieje.

c) W $\langle-1;2\rangle$ maksimum to $2$, a minimum $g(2)=-2$.

d) W $\langle-1;1\rangle$ maksimum to $2$, a minimum w obu końcach wynosi $1$.

Dla $x<-2$ funkcja $8/x$ przyjmuje wartości z $(-4;0)$. Dla $-2\leq x\leq2$ funkcja $2x$ przyjmuje wszystkie wartości z $\langle-4;4\rangle$. Dla $x>2$ funkcja $8/x$ przyjmuje wartości z $(0;4)$. Łącznie

$W_f=\langle-4;4\rangle.$

Funkcja $g=f-2$ ma zatem zbiór wartości $\langle-6;2\rangle$, a oba końce są osiągane.