MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 189

Przesunięcie o $4$ jednostki w dół daje

$g(x)=\frac2x-4.$

Asymptota pionowa nie zmienia się, a pozioma przesuwa z $y=0$ na $y=-4$. Stąd $D_g=\mathbb R\setminus\{0\}$ i $W_g=\mathbb R\setminus\{-4\}$.

Warunek $0<g(x)<4$ zapisujemy jako

$0<\frac2x-4<4\quad\Longleftrightarrow\quad4<\frac2x<8.$

Dla $x<0$ środkowe wyrażenie jest ujemne, więc brak rozwiązań. Dla $x>0$ otrzymujemy jednocześnie $x<\frac12$ oraz $x>\frac14$.

Niech przesunięta funkcja ma wzór $g(x)=2x-2{,}5+c$, gdzie dodatnie $c$ oznacza przesunięcie w górę. Warunek, że $-100$ jest miejscem zerowym, daje

$0=g(-100)=-200-2{,}5+c,$

więc $c=202{,}5$.

Obliczamy różnicę $g(x)-f(x)$.

a) $(x+3)-(x-4)=7$.

b) $(2x-5)-(2x+3)=-8$.

c) Ponieważ $(x-1)^2=x^2-2x+1$, różnica wynosi $(x^2-2x+3)-(x^2-2x+1)=2$.

Proste przecinają osie w punktach

g:\ (0,8),(4,0).$$ Trapez ma więc wierzchołki $(0,3)$, $(0,8)$, $(4,0)$ i $(\frac32,0)$. Pole liczymy na przykład jako różnicę pól dwóch trójkątów prostokątnych ograniczonych osiami: $$P=\frac12\cdot4\cdot8- \frac12\cdot\frac32\cdot3 =16-\frac94=\frac{55}{4}.

Jeśli punkt $(x,y)$ ma należeć do wykresu $g$, to

$p=y-f(x)=y-\left(\frac13x+1\right).$

Dla kolejnych wierzchołków otrzymujemy

p_B=2-3=-1,$$ $$p_C=6-3=3,\qquad p_D=6-\frac53=\frac{13}{3}.$$

Dla pierwszej gałęzi wartości biegną od $f(-3)=1$ do $f(1)=3$, więc tworzą $\langle1;3\rangle$. Druga gałąź daje wartość $3$. Trzecia, dla $4<x\leq6$, przyjmuje wartości z $(3;9\rangle$. Zatem

$W_f=\langle1;9\rangle.$

Przesunięcie o $4$ w dół daje $W_g=\langle-3;5\rangle$. Część wspólna tych przedziałów to $\langle1;5\rangle$.

Korzystamy ze znanych zbiorów wartości funkcji bazowych i z przesunięć pionowych. Funkcje $|x|$, $x^2$ i $\sqrt{x}$ przyjmują wszystkie wartości nieujemne. Funkcja $2/x$ przyjmuje wszystkie wartości poza $0$.

a–d) Dodajemy odpowiednio $5,-4,-3,2$ do zbioru $\langle0;\infty)$.

e) Od zbioru $\mathbb R\setminus\{0\}$ odejmujemy $1$, więc brakującą wartością jest $-1$.

f) Od $8$ odejmujemy niezerową wartość $2/x$, więc nie można otrzymać $8$, a każdą inną wartość można.