MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 18

Niech bok trójkąta ma długość $a>0$. Jeżeli obwód $3a$ jest wymierny, to $a$ jest wymierne. Pole wynosi wtedy

$P=\frac{\sqrt3}{4}a^2.$

Liczba $\frac{a^2}{4}$ jest dodatnia i wymierna, więc jej iloczyn z $\sqrt3$ jest niewymierny. Pole nie może zatem być jednocześnie wymierne z obwodem.

Niech bok kwadratu ma długość $a>0$. Wtedy przekątna ma długość $a\sqrt2$, obwód $4a$, a pole $a^2$.

• I. Dla $a=\sqrt2$ suma przekątnych wynosi $2a\sqrt2=4$, więc zdanie jest prawdziwe.
• II. Dla $a=\sqrt2$ obwód $4\sqrt2$ jest niewymierny, więc zdanie jest prawdziwe.
• III. $\frac{4a}{a\sqrt2}=2\sqrt2$, czyli stosunek jest niewymierny. Zdanie jest fałszywe.
• IV. Jeśli $4a$ jest wymierne, to $a$ i $a^2$ są wymierne. Zdanie jest fałszywe.
• V. Dla $a=\sqrt2$ obwód jest niewymierny, a pole wynosi $2$. Zdanie jest prawdziwe.
• VI. Dla $a=\frac12$ obwód wynosi $2$, a pole $\frac14$. Zdanie jest prawdziwe.

Obwody wynoszą odpowiednio $4\sqrt3$, $3\sqrt5$ i $6\sqrt2$. Wszystkie są dodatnie, więc możemy porównać ich kwadraty:

$$(6\sqrt2)^2=72,\qquad (4\sqrt3)^2=48,\qquad (3\sqrt5)^2=45.$$

Zatem $6\sqrt2>4\sqrt3>3\sqrt5$.

Ze skanu wynika, że $D$, $E$ i $F$ są spodkami wysokości, a trzecią wysokością jest $CF$. Oznaczmy $|AB|=a$. Każda wysokość ma długość

$h=\frac{a\sqrt3}{2},$

a punkt $G$ dzieli ją w stosunku $2:1$, licząc od wierzchołka. Stąd

$$|AG|=|BG|=|CG|=\frac{a\sqrt3}{3}, \qquad |GD|=\frac{a\sqrt3}{6}.$$

Obliczamy podane stosunki:

$$\frac{|CF|}{|FB|}=\frac{h}{a/2}=\sqrt3, \qquad \frac{|GD|}{|BE|}=\frac13.$$

Ponieważ $E$ jest środkiem boku $AC$, mamy $|EC|=\frac a2$. Zatem

$$\frac{|AG|}{|EC|}=\frac{2\sqrt3}{3}, \qquad \frac{|BC|}{|GC|}=\sqrt3, \qquad \frac{|AD|}{|BG|}=\frac32, \qquad \frac{|CE|}{|AB|}=\frac12.$$

Niewymierne są stosunki zawierające $\sqrt3$.

W każdym podpunkcie dobieramy dwie liczby niewymierne i sprawdzamy wynik.

a) Dla $x=\sqrt5$ otrzymujemy $\sqrt5\cdot x=5$, a dla $x=\sqrt2$ otrzymujemy $\sqrt{10}$.

b) Dla $x=\sqrt2$ otrzymujemy $x^2=2$, a dla $x=1+\sqrt2$ otrzymujemy $x^2=3+2\sqrt2$.

c) Dla $x=-\sqrt5$ otrzymujemy $x+\sqrt5=0$, a dla $x=\sqrt2$ otrzymujemy $x+\sqrt5=\sqrt2+\sqrt5$.

Niech $x$ będzie liczbą niewymierną. W szczególności $x\ne0$. Przypuśćmy przeciwnie, że $\frac1x$ jest liczbą wymierną $q$. Ponieważ $q\ne0$, jej odwrotność też jest wymierna, zatem

$x=\frac1q$

byłoby wymierne. Otrzymana sprzeczność dowodzi tezy.